Faktorokruh

Nechť je dán okruh ${\displaystyle R}$ a ideál ${\displaystyle I}$ tohoto okruhu. Pak je možné na ${\displaystyle R}$ definovat relaci ${\displaystyle \equiv }$ následovně:

${\displaystyle a\equiv b}$ tehdy a jen tehdy když ${\displaystyle a-b\in I}$

Poměrně přímočaře lze dokázat, že tato relace je nejen ekvivalencí, ale dokonce i kongruencí – s třídami této ekvivalence je tedy možné počítat jako s prvky okruhu. Třída obsahující prvek ${\displaystyle a}$ bývá značena ${\displaystyle a+I}$. Třídy ekvivalence spolu s operacemi:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$

tvoří okruh, ten se nazývá faktorovým okruhem neboli faktorokruhem ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$ a obvykle se značí ${\displaystyle R/I}$. Z původního okruhu ${\displaystyle R}$ existuje vždy zobrazení na okruh ${\displaystyle R/I}$ definované předpisem ${\displaystyle p(a)=a+I}$. Jedná se o okruhový homomorfismus, říká se mu přirozený homomorfismus a je surjektivní. Jeho jádrem je právě ideál ${\displaystyle I}$.

• Je-li ${\displaystyle R}$ komutativní okruh, je i ${\displaystyle R/I}$ komutativní.
• Je-li ${\displaystyle R\neq \{0\}}$ komutativní okruh a ${\displaystyle I}$ je maximální ideál, pak je ${\displaystyle R/I}$ tělesem.
• Je-li ${\displaystyle R\neq \{0\}}$ komutativní okruh a ${\displaystyle I}$ je prvoideálem, pak je ${\displaystyle R/I}$ oborem integrity.
• Ideály faktorokruhu ${\displaystyle R/I}$ odpovídají ideálům okruhu ${\displaystyle R}$ obsahujícím ${\displaystyle I}$

• Faktorokruh z nevlastních ideálů: ${\displaystyle R/\left\{0\right\}}$ je isomorfní samotnému ${\displaystyle R}$, zatímco ${\displaystyle R/R}$ je isomorfní nulovému okruhu.
• V okruhu celých čísel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ je podmnožina sudých čísel ideálem, který můžeme značit ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Faktorokruh ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ má jen dva prvky, ${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$ (na který přirozený homomorfismus zobrazuje sudá čísla) a ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$ (na který přirozený homomorfismus zobrazuje lichá čísla). Lze snadno ověřit, že tento okruh je konečným tělesem, konkrétně je izomorfní dvouprvkovému tělesu ${\displaystyle GF(2)}$.
• Obecně platí, že prvotělesa konečných těles, tedy tělesa známé z modulární aritmetiky a někdy značená ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, jsou vlastně faktorokruhy ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• Pro okruh mnohočlenů ${\displaystyle R[x]}$, tedy okruh mnohočlenů s koeficienty z reálných čísel, a k němu ideál ${\displaystyle I=\left\langle x^{2}+1\right\rangle }$, tedy ideál tvořený násobky mnohočlenu ${\displaystyle x^{2}+1}$, je vzniklý faktorový okruh izomorfní tělesu komplexních čísel.
• Předchozí případ lze zobecnit: Faktorokruhy lze používat k vytvoření tělesových rozšíření, přesněji k vytvoření kořenových nadtěles vzhledem k danému tělesu a mnohočlenu, který je v něm ireducibilní.
• Speciálním případem konstrukce nadtěles jako faktorokruhů je konstrukce konečných těles: Konečné těleso ${\displaystyle GF(p^{n})}$ lze zkonstruovat jako faktorokruh ${\displaystyle GF(p)[x]/f(x)}$, kde ${\displaystyle f(x)}$ je mnohočlen stupně ${\displaystyle n}$, který je nad ${\displaystyle GF(p)}$ ireducibilní.