Lineární uspořádání

Řekneme, že uspořádání (ať již ostré nebo neostré) je lineární, pokud se (kromě ostatních vlastností požadovaných definicí uspořádání) jedná o trichotomickou relaci.

Rozepišme si podrobněji, co všechno musí být splněno, na příkladu ostrého lineárního uspořádání (pro neostré lineární uspořádání musí být antireflexivita nahrazena reflexivitou):

Předpokládejme, že máme relaci ${\displaystyle R\,\!}$ na množině ${\displaystyle X\,\!}$, a ${\displaystyle a,b,c\in X\,\!}$ jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny ${\displaystyle X\,\!}$, musí být splněny tyto podmínky:

1. tranzitivita: ${\displaystyle aRb\land bRc\implies aRc\,\!}$
2. (slabá) antisymetrie: ${\displaystyle aRb\land bRa\implies a=b\,\!}$
3. trichotomie: ${\displaystyle aRb\vee bRa\vee a=b\,\!}$

Relace ${\displaystyle <\,\!}$ je lineární uspořádání na množině přirozených čísel i reálných čísel.

Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda ani „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“).

Uvažujme o pětiprvkové množině X = {a,b,c,d,e} a relaci R = {[a,c],[a,d],[a,e],[b,c],[b,d],[c,d]}. Tato relace je tranzitivní, antireflexivní i antisymetrická. Není však trichotomická, protože například d a e jsou dva různé neporovnatelné prvky.

Abecední řazení řetězců je lineární uspořádání.

Správně seskládané matrjošky (do žádné bábušky se nesmí vejít více malinkých vedle sebe). jsou lineárně uspořádané pomocí relace "být uvnitř".

• Ostré uspořádání
• Binární relace
• Dobré uspořádání
• Husté uspořádání