Bernoulliho číslo
Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel kterou popsal v roce 1631 Johann Faulhaber jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet: „za půl čtvrthodiny”.
Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel.
Definice
V současné době existují v matematice dvě definice Bernoulliho čísel: novější – uvedená níže jako definice 1 a starší – níže citovaná jako definice 2. Pro rozlišení se Bernoulliho čísla podle definice 1 označují a podle definice 2 Čísla tvoří vlastní podmnožinu hodnot
Bernoulliho čísla – definice 1
Bernoulliho čísla jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:[1]
Tato řada konverguje pro
Bernoulliho čísla je možné také definovat rekurentně pomocí vzorce:
kde
Bernoulliho čísla s lichými indexy většími než 2 podle této definice jsou rovna 0.
Čísla se sudými indexy většími než 0 jsou střídavě kladná a záporná.
Prvních 21 Bernoulliho čísel počínaje :
Bernoulliho čísla – definice 2
Bernoulliho čísla jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:
Prvních několik Bernoulliho čísel počínaje :
Vztah mezi čísly a popisuje vzorec:
Asymptotický vzorec
Použitím Stirlingova vzorce získáme následující přiblížení hodnot Bernoulliho čísel:
Staudtova věta
Každé Bernoulliho číslo je možné vyjádřit ve tvaru[2]:
kde je přirozené číslo, a sčítání se provádí pro takové dělitele k čísla pro které je prvočíslo.
Například Bernoulliho číslo je možné zapsat ve tvaru protože číslo 6 má čtyři dělitele: 1, 2, 3, 6, z nichž tři (1, 2, 6) jsou čísla o 1 menší než než prvočísla 2, 3, 7.
Příklady použití
Bernoulliho čísla se objevují v Taylorových rozvojích mnoha funkcí jako aj.
Faulhaberův vzorec pro součet mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel:
Vztah s Riemannovou funkcí zeta popisuje Eulerův vzorec:
Z něj plyne, že
Další vzorec pocházející od Leonharda Eulera:
Bernoulliho čísla byla studována mj. spolu s regulárními prvočísly. Mnoho dalších vlastnosti Bernoulliho čísel a jejich dalších použití je možné najít v níže uvedené literatuře.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Liczby Bernoulliego na polské Wikipedii.
- Encyklopedia PWN, liczby Bernoulliego.
- Гельфонд 1952, s. 336–337.
Literatura
- liczby Bernoulliego [online]. PWN [cit. 2021-10-02]. Dostupné online. (polsky)
- ГЕЛЬФОНД, A. О., 1952. Исчисление конечных разностей. [s.l.]: ГИТТЛ. (rusky)
- RIBENBOIM, Paulo, 1997. Mała księga wielkich liczb pierwszych. Warszawa: WNT. ISBN 83-204-2201-9. OCLC 69586783 (polsky)
- CONWAY, J.H.; GUY, R.K., 1999. Księga liczb. Warszawa: WNT. ISBN 83-204-2366-X. (polsky)
- GRAHAM, R.L.; KNUTH, D.E.; PATASHNIK, O., 2006. Matematyka konkretna. Warszawa: WNT. ISBN 83-01-14764-4. Kapitola 6.5: Liczby Bernoulliego. (polsky)
- WEISSTEIN, E.W. MathWorld [online]. Wolfram Research. Kapitola Bernoulli Number. Dostupné online. (anglicky)