Teleso (algebra)

Trojicu ${\displaystyle ({\mathcal {F}},+,\cdot )}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je množina a + (sčítanie) a ${\displaystyle \cdot }$ (násobenie) sú binárne operácie, nazývame telesom, pokiaľ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},+,\cdot )}$ je okruh a ak navyše platí

• pre každé ${\displaystyle x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}}$ existuje ${\displaystyle y\in {\mathcal {F}}}$, tak, že ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1}$, čo označujeme ${\displaystyle y=x^{-1}}$.

Alternatívna definícia telesa: teleso je množina F s aspoň dvoma prvkami 0, 1 s operáciami:

• sčítanie, pričom (F, +, -, 0) je Abelovská grupa (+ je komutatívna),
• násobenie, pričom ${\displaystyle (F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)}$ je grupa,

a navyše platia distributívne zákony medzi sčítaním a násobením:

${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$

${\displaystyle (b+c)a=ba+ca}$

V komutatívnom telese navyše požadujeme, aby aj multiplikatívna grupa bola komutatívna, teda: ${\displaystyle ab=ba}$.

Nadteleso telesa ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je také teleso, že ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je jeho podmnožinou.

• Množina racionálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Množina reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a jej najväčšie algebraické komutatívne nadteleso je množina komplexných čísel ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Kvaternióny, nekomutatívne teleso, najväčšie algebraické nadteleso množiny reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Teleso racionálnych funkcií ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$
• Teleso reálnych funkcií ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$
• Množina zvyškových tried ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ pre každé prvočíslo ${\displaystyle p}$.
• Galoisové telesá ${\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})}$

1. ŠLAPAL Josef, SOA - Obecná algebra, Základy obecné algebry včetně příkladů k procvičování

• Skripta Pěstujeme lineární algebru
• Komutatívna teleso na MathWorld (en)
• Generování konečných těles

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Těleso (algebra) na českej Wikipédii.

Matematický portál