Okruh (algebra)

Okruh je usporiadaná trojica (M, +, *), kde

• M je ľubovoľná množina, + a * sú binárne operácie na M,
• (M, +) je abelovská grupa,
• (M, *) je pologrupa,
• * je distributívna vzhľadom na + z oboch strán.

Inak povedané (ak rozpíšeme definície abelovskej grupy, pologrupy a distributívnosti v definícii), platí:

• + je asociatívna operácia a komutatívna operácia na M,
• operácia + má neutrálny prvok (ktorý zvykneme volať nulou okruhu),
• ku každému prvku a z M existuje k nemu inverzný (ktorý voláme prvkom opačným k a a symbolicky zapisujeme ${\displaystyle -a}$),
• * je asociatívna operácia na M,
• ${\displaystyle \forall a,b,c\in M:a*(b+c)=a*b+a*c}$ a ${\displaystyle \forall a,b,c\in M:(a+b)*c=a*c+b*c}$.

Ak operácia * je komutatívna, hovoríme o komutatívnom okruhu.

Ak existuje neutrálny prvok vzhľadom na *, hovoríme, o okruhu s jednotkou a tento neutrálny prvok nazývame jednotkou okruhu.

Komutatívny okruh s jednotkou, v ktorom platí zákon nenulového súčinu, nazývame obor integrity.

Ak ku každému prvku okrem nuly v okruhu s jednotkou existuje inverzný (vzhľadom na operáciu *) (t. j. ${\displaystyle (M-\{0\},*)}$ je grupa), hovoríme o telese.

Komutatívne teleso nazývame pole.

Nie je ťažké dokázať, že v každom okruhu platia nasledujúce vzťahy:

• ${\displaystyle a0=0a=0}$
• ${\displaystyle (-a)b=a(-b)=-ab}$
• ${\displaystyle (-1)a=-a}$
• ak ${\displaystyle a,b}$ sú invertibilné (t. j. existujú k obom inverzné prvky), potom ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$.

V každom netriviálnom okruhu s jednotkou (t. j. ktorý má aspoň dva prvky) je jednotka vždy rôzna od nuly.

• celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (posledné tri sú polia),
• kvaternióny vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (tvoria teleso),
• zvyškové triedy podľa prvočíselného modulu (tvoria pole),
• reálne spojité funkcie nad daným intervalom vzhľadom na sčítanie a násobenie funkcií,
• všetky polynómy s koeficientami z daného okruhu (okruh polynómov),
• štvorcové matice nad daným poľom vzhľadom na maticové sčítanie a násobenie,
• endomorfizmy danej grupy vzhľadom na sčítanie a skladanie zobrazení (okruh endomorfizmov),
• potenčná množina danej množiny vzhľadom na symetrickú diferenciu a prienik,

Nech je daný okruh (A, +, *). Hovoríme, že (B, +', *') je podokruh okruhu A, ak

• ${\displaystyle B\subseteq A}$,
• +' je zúžením operácie + na B,
• *' je zúžením operácie * na B.

Nech C je ľubovoľná podmnožina A. Najmenší podokruh okruhu A (s indukovanými operáciami) obsahujúci množinu C nazývame podokruhom generovaným množinou C (symbolicky zapisujeme ${\displaystyle [C]}$). Takýto podokruh existuje vždy práve jeden.

Nech teraz A je komutatívny okruh s jednotkou a nech jednotka patrí aj podokruhu B, nech u je ľubovoľný prvok z A, potom sa dá dokázať, že:

• ${\displaystyle [B\cup \{u\}]=\{a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\ldots +a_{n}u^{n}~|~n\in N,a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in B\}}$

Podokruh ${\displaystyle [B\cup \{u\}]}$ symbolicky zapisujeme ${\displaystyle B[u]}$.

Direktný (priamy) súčet okruhov (A,+,*) a (B,+',*') je okruh ${\displaystyle (A\times B,\oplus ,\otimes )}$, kde

• ${\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+'d)}$,
• ${\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(a*c,b*'d)}$.

Centrum okruhu je jeho podokruh prvkov, ktoré komutujú so všetkými ostatnými.

Ak je daný ľubovoľný ideál I okruhu A, existuje k nemu faktorový okruh A/I.

• ALGEBRA Grupy, okruhy a Galoisove polia