Kvaternión

Nech

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&3+i\\y&=&5i+j-2k\end{matrix}}}$

Potom (pri násobení sa využívajú vzťahy uvedené vyššie)

${\displaystyle {\begin{matrix}x+y&=&3+6i+j-2k\\\\xy&=&(3+i)(5i+j-2k)=15i+3j-6k+5i^{2}+ij-2ik\\&=&15i+3j-6k-5+k+2j=-5+15i+5j-5k\\\end{matrix}}}$

Každý kvaternión môžeme napísať v tvare ${\displaystyle a+\mathbf {v} }$, kde ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}i+v^{2}j+v^{3}k}$, kde ${\displaystyle \mathbf {v} }$ chápeme ako vektor v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Pre ľubovoľný rýdzo imaginárny kvaternión ${\displaystyle \mathbf {v} }$ a ľubovoľný kvaternión ${\displaystyle h\neq 0}$ platí, že ${\displaystyle h\mathbf {v} h^{-1}}$ je opeť rýdzo imaginárny (t. j. vektor) a zobrazenie ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto h\mathbf {v} h^{-1}}$ je rotácia v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Môžeme sa obmedziť na jednotkové kvaternióny ${\displaystyle |h|=1}$. Potom platí:

rotácia okolo osi ${\displaystyle \mathbf {o} }$ o uhol ${\displaystyle \varphi }$ je reprezentovaná kvaterniónom ${\displaystyle h=\cos(\varphi /2)+\sin(\varphi /2)\mathbf {o} }$, kde ${\displaystyle \mathbf {o} }$ je jednotkový vektor v smere osi o (otáča sa v kladnom smere, ak sa pozeráme smerom k o).

Ku každej rotácii prislúchajú 2 jednotkové kvaternióny ${\displaystyle h}$ a ${\displaystyle -h}$. To okrem iného dokazuje, že trojrozmerná sféra ${\displaystyle S^{3}}$ je 2:1 nakrytie ${\displaystyle SO(3)}$.

Zároveň je to najjednoduchší spôsob, ako rotáciu okolo nejakej osi v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ spočítať (ak je napríklad z neznámych dôvodov nie príliš známy).

Kvaternióny môžeme prirodzene stotožniť s prvkami priestoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Pre ľubovoľnú dvojicu jednotkových kvaterniónov ${\displaystyle h,q}$ je zobrazenie ${\displaystyle v\in \mathbb {H} \mapsto hvq\in \mathbb {H} }$ rotácia v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\simeq \mathbb {H} }$. Každej rotácii ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ prislúchajú takto práve dve dvojice jednotkových kvaterniónov ${\displaystyle h,q}$ a ${\displaystyle -h,-q}$. To objasňuje štruktúru grupy ${\displaystyle SO(4)}$: plynie z toho hneď, že ${\displaystyle SO(4)\simeq (S^{3}\times S^{3})/\mathbb {Z} _{2}}$.

Pomocou kvaterniónov možno nájsť niektoré platónske telesá v štvorrozmernom priestore. Prvým faktom, ktorý je potrebné si uvedomiť je, že žiadne platónske teleso sa nezmení, ak ho pootočíme tak, že každý vrchol prejde do vrcholu iného. Potom je potrebné si všimnúť, že ak máme štvorrozmerný vektor (a,b,c,d) a priradíme mu kvaternión ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$, potom ak sadu takých vektorov (kvaterniónov) vynásobíme jednotkovým kvaterniónom, tak sa všetky tieto vektory iba otočia. (Sú násobené jednotkovým kvaterniónom, takže sa nezmení ich veľkosť, len smery, a to lineárne.) Potom si všimneme, že v kvaterniónoch existujú konečné grupy uzavreté voči násobeniu, ktoré majú nasledujúce členy:

všetky permutácie (±1, 0, 0, 0) (8 členov)

predchádzajúca grupa + 16 štvoríc (±½, ±½, ±½, ±½)

predchádzajúca grupa + všetky párne permutácie ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0).

Pre každú z týchto grúp potom platí, že ak násobíme členy grupy medzi sebou, výsledkom je opäť prvok danej grupy. To ale znamená, že každá grupa predstavuje vrcholy nejakého platónskeho telesa vo štvorrozmernom priestore! To preto, že práve vtedy, keď ide o platónske teleso, je splnená vlastnosť, že pri otočení daného telesa tak, aby sa vrchol dostal do vrcholu (čomu práve násobenie jednotkovými kvaterniónmi z danej grupy zodpovedá), zostane teleso rovnaké.