Grupa (matematika)

Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:

1. Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
2. Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
3. Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).
   Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x^-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov grupa.

Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“

Grupa (G, ${\displaystyle \circ }$) je usporiadaná dvojica, kde G je neprázdna množina a ${\displaystyle \circ }$ je binárna operácia na tejto množine, pričom

• operácia ${\displaystyle \circ }$ je na G asociatívna, t. j. ${\displaystyle \forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$,
• existuje tzv. neutrálny prvok ${\displaystyle e\in G}$ s vlastnosťou ${\displaystyle \forall a\in G:a\circ e=a=e\circ a}$,
• ku každému prvku ${\displaystyle a\in G}$ existuje inverzný prvok ${\displaystyle b\in G}$ taký, že ${\displaystyle a\circ b=e=b\circ a}$.

Ak je binárna operácia ${\displaystyle \circ }$ navyše komutatívna, tak hovoríme o komutatívnej alebo abelovskej grupe.

• V grupe platia zákony o krátení:

${\displaystyle \forall a,b,c\in G:a\circ b=a\circ c\Rightarrow b=c}$

${\displaystyle \forall a,b,c\in G:a\circ c=b\circ c\Rightarrow a=b}$

• V grupe majú riešenie všetky rovnice typu

${\displaystyle a\circ x=b}$

${\displaystyle y\circ a=b}$

pre všetky ${\displaystyle a,b\in G}$

Grupa ${\displaystyle (H,\ast )}$ sa nazýva podgrupou grupy ${\displaystyle (G,\circ )}$, ak ${\displaystyle H}$ je podmnožinou ${\displaystyle G}$ a platí ${\displaystyle \forall a,b\in H:a\ast b=a\circ b}$.

Neprázdna podmnožina H grupy ${\displaystyle (G,\circ )}$ tvorí podgrupu, ak je uzavretá na binárnu operáciu a aj na tvorbu inverzných prvkov, t.j.

• Pre ľubovoľné ${\displaystyle a,b\in H}$ platí ${\displaystyle a\circ b\in H}$.
• Pre ľubovoľné ${\displaystyle a\in H}$ platí ${\displaystyle a^{-1}\in H}$.

Ak H je konečná množina, tak stačí uzavretosť na binárnu operáciu.[1]

• množina celých čísel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, ktorú nazývame aj aditívna grupa celých čísel,
• množina racionálnych čísel okrem čísla 0 s operáciou násobenia ${\displaystyle \cdot }$ tvorí grupu ${\displaystyle (\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )}$, ktorej sa hovorí aj multiplikatívna grupa racionálnych čísel,
• všeobecnejšie, pre ľubovoľné pole F je množina ${\displaystyle F\setminus \{0\}}$ s operáciou násobenia grupou. (Je to multiplikatívna grupa poľa F.)
• dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ s operáciou ${\displaystyle \oplus }$ a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\setminus \{0\}}$ s operáciou ${\displaystyle \otimes }$ (ak n je prvočíslo),
• ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
• všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva symetrická grupa rádu n! (n faktoriál)

• Teória grúp

• DUMMIT, Richard M.; FOOTE, David S.. Abstract algebra. 3. vyd. Bratislava : John Wiley and Sons, Inc., 2004.
• KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.