Reštringovaný problém

Reštringovaný problém je špeciálny problém troch telies, pri ktorom sa predpokladajú určité zjednodušujúce podmienky:

Kruhovo reštringovaný problém troch telies je platnou aproximáciou eliptických dráh nachádzajúcich sa v Slnečnej sústave a takto môže byť vizualizovaný. Kombinácia gravitačných potenciálov dvoch primárnych telies spolu s odstredivým účinkom ich rotácie tvoria výsledný graf efektívneho potenciálu. Tam kde je gradient na výslednej ploche nulový (zobrazený ako modré čiary rovnobežné so základňou) sú Libračné (Lagrange) body. Nulový gradient efektívneho potenciálu naznačuje, že sily sú v rovnováhe.

• a) zanedbateľná hmotnosť tretieho telesa m₃ vzhľadom na prvé dve telesá, t. j. nepredpokladajú sa nijaké spiatočne pôsobiace sily;
• b) nerušený pohyb dvoch telies m₁ a m₂ po kruhovej dráhe;
• c) v rovinnom reštringovanom probléme sa ešte predpokladá pohyb všetkých troch telies v jednej rovine. Ani v tomto prípade síce problém troch telies nie je prísne analyticky riešiteľný, zisťujú sa všeobecnejšie vlastnosti a zaujímavé periodické pohyby. V niektorých prípadoch sa pripúšťa určitá voľba hmotnosti tretieho telesa (dvojhviezdy, ktoré majú ďalšieho sprievod­cu s porovnateľnou hmotnosťou), vtedy sa problém nazýva rozšírený reštringovaný problém troch telies.

V reštringovanom probléme, inak povedané v kruhovo obmedzenom probléme troch telies, v angličtine Circular Restricted Three-Body Problem[1], skratka CRTBP, sa dve masívne telesá pohybujú na kruhových obežných dráhach okolo ich spoločného stredu hmotnosti a tretia hmotnosť je z hľadiska ostatných dvoch zanedbateľná. Pokiaľ ide o rotujúci referenčný rámec, dve spolu obiehajúce telesá sú stacionárne a tretie môže byť aj na Lagrangianových bodoch,[2] alebo sa môže pohybovať okolo nich napríklad na obežnej dráhe tvaru podkovy.[3] Môže byť užitočné vypočítať efektívny potenciál.[4]

Mnoho známych matematikov sa venovalo tomuto problému: Euler a Lagrange (1772), Jacobi (1836), Hill (1878), Poincaré (1899), Levi-Civita (1905) a Birkhoff (1915). V roku 1772 prvýkrát uviedol Euler synodický (rotujúci) súradnicový systém, v ktorom objavil prve 3 libračné body. Lagrange našiel ďalšie dva. Jacobi (1836) následne objavil integrál pohybu v tomto súradnicovom systéme a teraz je známy ako Jacobiho integrál[5]. Hill (1878) použil tento integrál na to, aby ukázal, že vzdialenosť Zem – Mesiac zostáva ohraničená zhora, definoval Hillovu sféru a Brown (1896) dal v jeho čase najpresnejšiu lunárnu teóriu .[6]