Jacobiho integrál

Jacobiho integrál alebo Jacobiho konštanta je v nebeskej mechanike jediným známym konzervatívnym riešením pre kruhovo obmedzený problém troch telies.[1] Na rozdiel od problému s dvoma telesami všeobecné analytické riešenie nie je možné. Integrál sa použil na riešenie konkrétnych prípadov problému troch telies.

Jacobiho konštanta, povrch a krivka nulových rýchlosti.

Rotujúci systém.

Pomenovaný je podľa nemeckého matematika Carl Gustav Jacob Jacobi.

V súradnicovom systéme (x, y, z), Jacobiho konštanta je:

${\displaystyle C_{J}=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

kde:

• n = 2*π/T, T je obežná doba
• μ₁ = G*m₁, μ₂ = G*m₂, pre hmotnosť m₁, m₂ a G je gravitačná konštanta 
• r₁, r₂ sú vzdialenosti
• ${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=v^{2}}$ je štvorec rýchlosť v rotujúcom systéme

${\displaystyle 2U=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)}$

potom

${\displaystyle C_{J}=2U-{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-v^{2}}$

a pre v=0 možno vypočítať krivku alebo povrch s nulovou rýchlosťou[2][3]

C_j = 2U

kde

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

U(x,y,z) je funkcia energie sústavy.