Problém troch telies

Problém troch telies je jedna z hlavných úloh nebeskej mechaniky určiť pohyby troch telies vykonávaných vplyvom síl vzájomnej príťažlivosti. Podobne ako v probléme dvoch telies pokladajú sa telesá za dokonale tuhé, guľovo symetrické, aproximujú sa ako hmotné body. Medzi týmito bodmi s koncentrovanou hmotou pôsobia sily vzájomnej príťažlivosti, ktoré možno vypočítať podľa Newtonovho gravitačného zákona. Vplyvom týchto síl sa jednotlivé telesá pohybujú po určitých dráhach okolo spoločného ťažiska. Je potrebné určiť pohybové rovnice troch telies tak, aby sa dala vypočítať ich poloha na dráhe a rýchlosť pre ľubovoľný čas v budúcnosti aj v minulosti. Ak je v určitom čase známa poloha telies na dráhe a smer a veľkosť ich rýchlosti, dajú sa zostaviť matematické rovnice, kt. určujú pohyb jednotlivých telies pod vplyvom ďalších dvoch. Sú to tri obyčajné diferenciálne rovnice druhého rádu pre každé teleso.

Kým v probléme dvoch telies sa tieto pohybové rovnice dali úplne vyriešiť, v probléme troch telies sa nedá určiť všeobecné riešenie pohybu do všetkých dôsledkov. Je to možné iba v niekoľkých špeciálnych prípadoch. Inak si treba zvoliť čo najviac zjednodušení, aby sa pohybové rovnice dali vyriešiť. V probléme troch telies je známych iba niekoľko všeobecných vzťahov a približné riešenia. Všeobecné vzťahy:

• a) pre pohyb spoločného ložiska sústavy vyplýva, že ťažisko sústavy troch telies je v pokoji alebo v priamočiarom rovnomernom pohybe (integrál ťažiska);
• b) súčet súčinu hmotnosti a plošnej rýchlosti je konštantný, z čoho vyplýva zákon zachovania momentu hybnosti sústavy, celková hybnosť sústavy pri pohybe troch telies ostáva konštantná (integrál plôch);
• c) platí zákon zachovania energie sústavy, súčet kinetickej a potenciálnej energie sústavy troch telies je konštantný (integrál energie).

Ďalšie integrály takýchto typov, keď sa za premenné zvolia zaužívané pravouhlé súradnice alebo elementy dráhy, nie sú známe. H. Poicaré a H. Bruns dokázali, že v probléme troch a viac telies sa principiálne nedá určiť viac než desať integrálov takýchto typov, nejestvujú algebrické rieše­nia a problém troch telies nie je presne analyticky riešiteľný. Nemožno určiť polohu v ľubovoľnom čase v budúcnosti alebo minulosti bez toho, aby sa určili polohy v predchádzajú­cich alebo nasledujúcich okamihoch. V súčasnosti sa na túto metódu výhodne využívajú samočinné počítacie stroje. Ďalší matematický postup na dosiahnutie presných riešení poskytujú nekonečné rady (rozvoje), ktoré sú presným teoretickým riešením, ale v praxi sú menej vhodné, lebo uvažované rozvoje pomaly konvergujú. V praxi sa dosahujú riešenia s ľubovoľnou presnosťou metódami numerickej integrácie. V špeciálnych prípadoch, keď v určitom čase telesá dosiahnu znovu navzájom rovnaké polohy, jestvuje úplné analytické riešenie problému troch telies. J. L. Lagrange (1772) dokázal, že taký špeciálny prípad jestvuje, keď sa tretie teleso nachádza v jednom z piatich libračných bodov L₁, L₂,... L₅ vzhľadom na prvé dve telesá. Sú to miesta, v ktorých sa gravitačné a odstredivé sily na tretie teleso m₃ malej hmotnosti vyrovnávajú. Body L₁, L₂ a L₃ ležia na priamke prechádzajúcej prvými dvoma telesami a ich poloha závisí od pomeru hmotnosti telies m₁ a m₂. Body L₄ a L₅ tvoria s telesami m₁ a m₂ rovnostranné trojuholníky. Pritom body L₁, L₂ a L₃ sú nestabilné (už malé poruchy môžu vychýliť tretie teleso z libračného centra), body L₄ a L₅ sú stabilné (malé poruchy spôsobia iba kolísanie polohy m₃ okolo librač­ných bodov). Pri pohybe troch telies v tomto prípade sa vzájomné vzdialenosti môžu meniť, ale pomer vzdiale­ností ostáva vždy rovnaký. Všetky telesá opisujú podob­né kužeľosečky. Aj keď takýto prípad je špeciálnym teoretickým prípadom problému troch telies, v slnečnej sústave jestvujú telesá, ktoré sa pohybujú v blízkosti libračných bodov L₄ a L₅ sústavy Slnko – Jupiter. Sú to Trójania.

Ďalším špeciálnym prípadom problému troch telies je reštringovaný problém troch telies, pri ktorom sa predpokladá niekoľko zjednodušujúcich podmienok (zanedbateľná hmotnosť tretieho telesa, pohyb v jednej rovine, pohyb m₁ a m₂ okolo spoločného ložiska). Keď v určitom čase nadobudnú telesá začiatočnú polohu, t. j. pohyb je periodický, problém troch telies sa dá úplne analyticky vyjadriť. Vo všeobecnosti sa v probléme troch telies hovorí o teórii porúch – perturbácii. Keď je hmotnosť tretieho telesa m₃ veľmi malá v porovnaní s m₁ a m₂ alebo m₃ je veľmi vzdialené od m₁ a m₂, jeho pôsobenie na telesá m₁ a m₂ je oveľa menšie ako pôsobenie medzi telesami m₁ a m₂. V takom prípade m₃ iba slabo ruší keplerovský pohyb dvoch telies. Napríklad v slnečnej sústave je hmotnosť Slnka oveľa väčšia než hmotnosť ostatných telies, preto pri výpočte dráhy určitej planéty (alebo iného telesa slnečnej sústavy) pôsobia ďalšie telesá len určitými poruchami (zrýchleniami rušiacej sily), ktoré sa dajú osobitne vyčísliť a spočítať. Tieto poruchy nie sú konštantné, ale závisia od vzájomnej polohy uvažovaných troch telies (pôsobenie je najväčšie, keď sú telesá v rovnakom smere na spojnici) a sú funkciou času. Poruchy klesajú s treťou mocninou vzdialenosti, prvý člen rozvoja je úmerný R/r³, kde R je vzdialenosť planéty od Slnka a r vzdiale­nosť rušiaceho telesa. Rozlišujú sa periodické poruchy (kolísanie okolo strednej hodnoty) a sekulárne poruchy (jednosmerné vzrastanie s časom). S otázkou porúch súvisí problém stability planetárnej sústavy. Z charakteru porúch elementov telies slnečnej sústavy vyplýva, že tá je neohraničene stabilná (poruchy).