Iracionálne číslo

Už starovekí grécki geometri vedeli, že dĺžky niektorých úsečiek sa k sebe nemajú, ako žiadne dve celé kladné čísla. To sa dá v jazyku modernej matematiky ekvivalentne formulovať tak, že pomer dĺžok týchto úsečiek je iracionálne číslo. Medzi takéto dvojice úsečiek patria napríklad strana a uhlopriečka štvorca alebo strana a diagonála pravidelného päťuholníka. Takýmto dvojiciam dĺžok Gréci hovorili nesúmerateľné dĺžky.

Treba pripomenúť, že staroveká grécka matematika považovala za čísla iba celé kladné čísla, čiže to, čomu sa dnes v jazyku modernej matematiky hovorí prirodzené čísla. Grécki geometri pôvodne verili tomu, že ktorékoľvek dve dĺžky sú v takom istom vzájomnom pomere, ako nejaké kladné celočíselné násobky nejakej pevne zvolenej dĺžky. Jeden z pôvodných zámerov gréckej matematiky bolo zredukovať otázky estetickej hodnoty geometrických tvarov na otázky vlastností prirodzených čísel skrývajúcich sa za pomermi dĺžok, ktoré možno na skúmaných útvaroch odmerať. Objavom nesúmerateľných dĺžok bol tento ambiciózny program odsúdený na rýchly koniec. Traduje sa, že stúpenci Pythagorovej školy existenciu nesúmerateľných dĺžok tajili. Ale ani napriek tomuto, na svoju dobu šokujúcemu objavu, Gréci nepripustili, že by číslom mohlo byť aj niečo iné, než celé kladné číslo. Desiata kniha Euklidovych základov sa venuje podrobnému študiu nesúmerateľnosti, ale aj pomerom dĺžok všeobecne.

Pojem iracionálneho čísla tak ako ho používame dnes, bol zavedený oveľa neskôr. Adjektívum iracionálne poukazuje iba na to, že takéto čísla nie sú racionálne v zmysle definície.

• iracionálne čísla sú husto usporiadané
• množina iracionálnych čísel je nespočítateľná
• všetky transcendentné čisla sú iracionálne

Dokazujeme sporom. Predpokladajme, že ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ také, že

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\sqrt {2}}}$

pričom ${\displaystyle q}$ je rôzne od nuly a ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ sú nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že ${\displaystyle p^{2}/q^{2}=2}$. Z nenulovosti ${\displaystyle q}$ vyplýva ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$, teda číslo ${\displaystyle p^{2}}$ je párne. Keďže ${\displaystyle p^{2}}$ je štvorec, znamená to, že aj samo ${\displaystyle p}$ je párne a možno ho vyjadriť v tvare ${\displaystyle p=2m}$, kde ${\displaystyle m}$ je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ zistíme, že ${\displaystyle 4m^{2}=2q^{2}}$, potom ${\displaystyle 2m^{2}=q^{2}}$, čo znamená, že aj ${\displaystyle q^{2}}$ je párne číslo. Znovu, keďže ${\displaystyle q^{2}}$ je štvorec, znamená to, že aj ${\displaystyle q}$ je párne.

Takto sme dokázali, že ${\displaystyle p}$ aj ${\displaystyle q}$ sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ sú nesúdeliteľné.

• Racionálne číslo
• Transcendentné číslo

• P. Vopěnka, Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. PRÁH 2003. ISBN 80-7252-022-9 (K histórii objavu nesúmerateľných dĺžok.)