Anatolij Alexejevič Karacuba

Edward F. Moore definuje vo svojom článku „Gedanken-experiments on Sequential Machines“ automat ${\displaystyle S}$ typu ${\displaystyle (n;m;p)}$ ako zariadenie, ktoré má ${\displaystyle n}$ stavov, reaguje na ${\displaystyle m}$ vstupných symbolov a dáva na výstupe ${\displaystyle p}$ symbolov.[1] V spomínanej práci je vyslovených a dokázaných 9 viet o štruktúre ${\displaystyle S}$. Takéto automaty dostali neskôr meno Moorove automaty. V závere svojho článku formuluje problém týkajúci sa zlepšenia odhadov zo svojich viet 8 a 9:

Veta 8 (Moore). Majme ľubovoľný ${\displaystyle (n;m;p)}$ automat ${\displaystyle S}$, ktorého každé dva stavy sú rozlíšiteľné, potom existuje experiment dĺžky ${\displaystyle n(n-1)/2}$, ktorý určí stav automatu ${\displaystyle S}$.

Karacuba dokázal v roku 1957 dve vety, ktoré dávajú úplnú odpoveď na Moorov problém týkajúci sa zlepšenia odhadu v jeho Vete 8.

Veta A (Karacuba). Ak ${\displaystyle S}$ je ${\displaystyle (n;m;p)}$ - automat ktorého každé dva stavy sú rozlíšiteľné, tak existuje experiment dĺžky nanajvýš ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$, ktorý identifikuje stav automatu ${\displaystyle S}$.

Veta B (Karacuba). Existuje ${\displaystyle (n;m;p)}$ automat, ktorého každé dva stavy sú rozlíšiteľné, taký, že dĺžka najkratšieho experimentu, ktorým je možné zistiť jeho stav je rovná ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$.

Tieto dve vety dokázal Karacuba v štvrtom ročníku univerzity v rámci ročníkového projektu. Príslušný článok bol publikovaný v júni 1960.[2] Až do dnes (12.04.2010) táto tzv. Moore-Karacubova veta ostáva jediným presným nelineárnym odhadom v teórii automatov a podobných problémoch teórie výpočtovej zložitosti.

Efektívne algoritmy predstavujú časť výpočtovej matematiky, ktorá študuje algoritmy vyčísľovania danej funkcie s danou presnosťou za podmienky použitia čo najmenšieho počtu bitových operácií. Za predpokladu, že je číslo zadané v dvojkovej sústave, sa znaky 0 a 1 nazývajú bity (analógia cifier v desiatkovej sústave). Jedna bitová operácia je definovaná ako zapísanie niektorého zo znakov 0, 1, plus, mínus alebo zátvorka, ďalej zreťazenie, odčítanie a súčet dvoch bitov. Andrej Nikolajevič Kolmogorov ako prvý sformuloval problém o bitovej zložitosti vyčíslenia. "Zložitosť násobenia ${\displaystyle M(n)}$ je definovaná ako počet bitových operácií postačujúcich na vyčíslenie súčinu dvoch ${\displaystyle n}$-ciferných čísiel podľa zadaného algoritmu."

Ak uvažujeme násobenie dvoch ${\displaystyle n}$-ciferných celých čísiel bežnou školskou metódou "pod seba" dostaneme horný odhad ${\displaystyle M(n)=O(n^{2})}$. Andrej Kolmogorov vyslovil v roku 1956 hypotézu, že dolný odhad zložitosti ${\displaystyle M(n)}$ je pre každý algoritmus násobenia tiež rádu ${\displaystyle n^{2}}$. Čiže, že nie je možné vyčísliť súčin dvoch ${\displaystyle n}$-ciferných celých čísiel rýchlejšie ako s pomocou ${\displaystyle n^{2}}$ operácií. Táto ${\displaystyle n^{2}}$ hypotéza sa zdala byť prijateľnou, nakoľko v celej histórii nebol známy žiadny rýchlejší algoritmus násobenia a zdalo sa, že ak by nejaký rýchlejší algoritmus existoval, už by ho niekto objavil.

A. Karacuba však našiel v roku 1960 novú metódu násobenia dvoch ${\displaystyle n}$-ciferných čísiel dnes známu ako Karacubov algoritmus. Jeho zložitosť je ${\displaystyle M(n)=O(n^{\log _{2}3})=O(n^{1,58496\ldots }),}$ čo vyvracia ${\displaystyle n^{2}}$ hypotézu. Tento svoj výsledok prezentoval Karacuba na Kolmogorovom seminári na Moskovskej štátnej univerzite, čím sa aj zavŕšila činnosť tohoto semináru. Prvú prácu, ktorá vysvetľovala nový algoritmus pripravil sám Kolmogorov,[3] kde prezentoval dva medzi sebou nesúvisiace výsledky dvoch svojich študentov. Kolmogorov presne uvádza, že jedna z viet (nezaoberajúca sa rýchlym násobením) patrí J. Ofmanovi a druhá veta (opisujúca prvý rýchly algoritmus násobenia) patrí A. Karacubovi. Karacubov algoritmus sa zvykne nazývať aj metóda rozdeľuj a panuj, binárne rozštiepenie, či princíp dichotómie.

Na základe Karacubovej myšlienky bolo neskôr nájdené množstvo ďalších rýchlych algoritmov. Z nich najznámejšie sú priame zovšeobecnenia Karacubovho algoritmu, ako sú Schönhage–Strassenov algoritmus [4] a Strassenov algoritmus násobenia matíc.[5] V posledných rokoch sa termín rozdeľuj a panuj používa pre algoritmy, pri ktorých sa problém rozdelí na časti; nemusí nutne ísť o priame spojenie s algoritmom rýchleho násobenia.

Francúzsky matematik a filozof Jean-Paul Delahaye sa odvoláva na Karacubov algoritmus ako na «jeden z najužitočnejších výsledkov matematiky».[6]

Karacubov algoritmus je implementovaný v každom modernom počítači a to nielen ako softvér ale aj ako hardvér.

A. Karacuba objavil tzv. ${\displaystyle p}$-adickú metódu pre odhad istých trigonometrických súčtov, tzv. ${\displaystyle L}$-súm[12]

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

Význam jeho odhadov spočíva najmä v tom, že umožňujú presnejšiu lokalizáciu núl tzv. Dirichletových L-radov.

V rokoch 1960 - 1980 sa A. Karacuba venoval teórii viacnásobných trigonometrických súm,[13][14][15] teda súm tvaru

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$ , ãäå ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$

Kľúčovým výsledkom Karacubovej teórie je istá veta o strednej hodnote, podobne ako je to aj vo Vinogradovovej teórii trigonometrických súm. Tvrdenie vety je nasledovné

Nech ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$ sú prirodzené čísla, ${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$,${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$. Nech ďalej ${\displaystyle \Omega }$ je ${\displaystyle m}$-rozmerná kocka: ${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$, ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$, v n-rozmernom Euklidovom priestore a ${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$. Potom pre každé ${\displaystyle \tau \geq 0}$ and ${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$ platí pre strednú hodnotu ${\displaystyle J}$ nasledovný odhad: ${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$, kde ${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$, ${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$, ${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$, ${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$, a prirodzené čísla ${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$ sú takéto: ${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$ , ${\displaystyle s=1,\dots ,r}$.

Táto veta o strednej hodnote spolu s lemmou o počte priesekov s mnohorozmerným rovnobežnostenom sú základom pre Karacubov odhad veľkosti násobnej trigonometrickej sumy. Označme znakom ${\displaystyle Q_{0}}$ najmenší spoločný násobok čísiel ${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$ s podmienkou ${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$, pre ${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$. Potom platí odhad

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$,

kde ${\displaystyle \tau (Q)}$ je počet deliteľov čísla ${\displaystyle Q}$ a ${\displaystyle \nu (Q)}$ je počet rôznych prvočíselných deliteľov čísla ${\displaystyle Q}$.

Na základe ${\displaystyle p}$-adickej modifikácie Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradovovej metódy odhadu trigonometrických súm získal Karacuba nový odhad známej Hardyho funkcie z tzv. Waringovho problému:[16]

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

A Karacuba získal aj nasledovný výsledok vo viacrozmernom analógu Waringovho problému:[17][18]

Uvažujme systém rovníc

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$,

${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$,

kde ${\displaystyle N_{i}}$ sú dané celé kladné čísla rovnakého rádu ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$. Nech ďalej ${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$ sú neznáme, taktiež však kladné celé čísla. Potom uvedená sústava rovníc má riešenie ak ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$ a, z druhej strany, ak ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$, tak existujú čísla ${\displaystyle N_{i}}$, že sústava riešenie nemá.

V roku 1984 A. Karacuba dokázal,[19][20][21] že pre každé pevné ${\displaystyle \varepsilon }$, spĺňajúce podmienku ${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$ a pre dostatočne veľké ${\displaystyle T}$ a ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$, ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ je pravda, že interval ${\displaystyle (T,T+H)}$ obsahuje najmenej ${\displaystyle cH\ln T}$ núl funkcie ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$, kde ${\displaystyle z\mapsto \zeta (z)}$ je Riemannova zeta-funkcia.

Uvedené tvrdenie vyslovil ako hypotézu A. Selberg v roku 1942 a sám ho aj dokázal pre prípad ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$. Vie sa, že Selbergov a Karacubov odhad sa už nedajú zlepšiť, čo sa týka rádu rastu pri ${\displaystyle T\to +\infty }$.

A. Karacuba získal viaceré výsledky týkajúce sa početnosti núl Riemannovej zeta-funkcie na krátkych intervaloch ležiacich na kritickej priamke.[22] Dokázal, že analóg Selbergovej hypotézy platí pre takmer všetky intervaly ${\displaystyle (T,T+H]}$, ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$, kde ${\displaystyle \varepsilon }$ je ľubovoľné malé kladné číslo. V roku 1992 objavil novú metódu skúmania núl Riemannovej zeta-funkcie na superkrátkych intervaloch na kritickej priamke, ${\displaystyle (T,T+H]}$, ktorých dĺžka ${\displaystyle H}$ rastie s ${\displaystyle T}$ pomalšie ako akákoľvek kladná mocnina ${\displaystyle T}$. Špeciálne dokázal, že pre každé čísla ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ spĺňajúce podmienky ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ platí, že takmer všetky intervaly ${\displaystyle (T,T+H]}$ s ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ obsahujú aspoň ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ núl Riemannovej zeta-funkcie. Tento odhad je blízky dôležitého odhadu plynúceho z Riemannovej hypotézy.