Konečný automat

Deterministický konečný automat je pätica ${\displaystyle (\Sigma ,K,q_{0},\delta ,F)}$, kde:

• ${\displaystyle \Sigma }$ je vstupná abeceda (neprázdna konečná množina symbolov).
• ${\displaystyle K}$ je konečná množina stavov.
• ${\displaystyle q_{0}}$ je počiatočný stav, pričom platí ${\displaystyle q_{0}\in K}$.
• ${\displaystyle \delta }$ je prechodová funkcia: ${\displaystyle \delta :K\times \Sigma \rightarrow K}$, čiže funkcia, ktorá na základe stavu a symbolu zo vstupnej abecedy vráti nový stav
• ${\displaystyle F}$ je množina akceptačných stavov, je to ľubovoľná (môže byť aj prázdna) podmnožina ${\displaystyle K}$. Hovoríme, že DKA akceptuje slovo ${\displaystyle w}$, ak výpočet na tomto slove skončí v niektorom z akceptačných stavov.

Konfigurácia deterministického konečného automatu je dvojica ${\displaystyle (q,w)\in K\times \Sigma ^{\ast }}$, kde q je aktuálny stav automatu a w je dosiaľ neprečítaná časť vstupného slova.

Krok výpočtu deterministického konečného automatu je relácia ${\displaystyle \vdash _{A}}$ na konfiguráciach DKA definovaná nasledovne: ${\displaystyle (q,av)\vdash _{A}(p,v)\iff p=\delta (q,a)}$.

Pod výpočtom na deterministickom konečnom automate rozumieme ľubovoľnú postupnosť na seba nadväzujúcich výpočtových krokov.

Jazyk akceptovaný deterministickým konečným automatom A definujeme nasledovne:

${\displaystyle L(A)=\{w\ |\ \exists p\in F:(q_{0},w)\vdash _{A}^{\ast }(p,\varepsilon )\}.}$

Je to teda množina všetkých slov, na ktorých existuje v automate A výpočet končiaci v akceptačnom stave (takému výpočtu sa tiež hovorí akceptačný výpočet).

Nedeterministický konečný automat je pätica ${\displaystyle (\Sigma ,K,q_{0},\delta ,F)}$, kde:

• ${\displaystyle \Sigma }$ je vstupná abeceda (neprázdna konečná množina symbolov).
• ${\displaystyle K}$ je konečná množina stavov.
• ${\displaystyle q_{0}}$ je počiatočný stav, pričom platí ${\displaystyle q_{0}\in K}$.
• ${\displaystyle \delta }$ je prechodová funkcia: ${\displaystyle \delta :K\times (\Sigma \cup \{\varepsilon \})\rightarrow 2^{K}}$, čiže funkcia, ktorá na základe stavu a symbolu zo vstupnej abecedy vráti množinu nových stavov
• ${\displaystyle F}$ je množina akceptačných stavov, je to ľubovoľná (môže byť aj prázdna) podmnožina ${\displaystyle K}$. Hovoríme, že NKA akceptuje slovo ${\displaystyle w}$, ak výpočet na tomto slove skončí v niektorom z akceptačných stavov.

Existujú teda dva podstatné rozdiely medzi NKA a DKA:

• NKA povoľujú prechody na ${\displaystyle \varepsilon }$
• Nový stav nie je pre každý prechod určený jednoznačne. Prechodová funkcia vracia celú množinu stavov (pri výpočte sa môže postupovať do ľubovoľného z nich), ktorá môže byť dokonca prázdna.

Konfigurácia nedeterministického konečného automatu sa definuje analogicky, ako pri deterministických konečných automatoch. Je to dvojica ${\displaystyle (q,w)\in K\times \Sigma ^{\ast }}$, kde q je aktuálny stav automatu a w je dosiaľ neprečítaná časť vstupného slova.

Krok výpočtu je relácia ${\displaystyle \vdash _{A}}$ na konfiguráciach NKA A definovaná nasledovne:

${\displaystyle (q,aw)\vdash _{A}(p,w)\iff p\in \delta (p,a)}$.

Jazyk akceptovaný nedeterministickým konečným automatom A je množina

${\displaystyle L(A)=\{w\ |\ \exists p\in F:(q_{0},w)\vdash _{A}^{\ast }(p,\varepsilon )\}.}$