Dvojková číselná sústava

Ak máme zadané číslo v dvojkovej sústave pomocou číslic x₀, x₁... x_k potom jeho hodnotu v desiatkovej sústave získame tak, že číslo rozpíšeme v dvojkovej sústave na polynóm a potom ho vyčíslime v desiatkovej:

${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{k}{x_{i}}*2^{k-i}}$

Príklad:

(11010110)B = 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 =
= 1 · 128 + 1 · 64 + 0 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214

Číslo 11010110 v dvojkovej sústave je 214 v desiatkovej sústave (stačí sčítať tie sčítance, ktoré sú násobené 1).

Ak chceme previesť číslo z desiatkovej sústavy do dvojkovej sústavy, musíme číslo deliť základom sústavy – číslom 2, až pokiaľ nedostaneme podiel rovný nule. Po každom delení zapíšeme zvyšok, pričom zvyšok po prvom delení je cifra najnižšieho (nultého) rádu, zvyšok po druhom delení udáva cifru prvého rádu atď.

Príklad:

215 : 2 = 107;  zv. 1
107 : 2 = 53;   zv. 1
53 : 2 = 26;    zv. 1
26 : 2 = 13;    zv. 0
13 : 2 = 6;     zv. 1
6 : 2 = 3;      zv. 0
3 : 2 = 1;      zv. 1
1 : 2 = 0;      zv. 1

Číslo 215 v desiatkovej sústave je 11010111 (zvyšky zapísané v poradí zdola hore) v binárnej sústave.

Ak chceme číslo zapísané v desiatkovej sústave vyjadriť v dvojkovej sústave, rozložíme ho na súčet postupne znižujúcich sa mocnín dvojky a číslicou 1 alebo 0 zaznamenáme ich výskyt alebo absenciu. Napríklad pri čísle 215 postupujeme takto:

1. Nájdeme najväčšiu mocninu dvojky, ktorá sa v čísle nachádza: 2⁷ = 128 (2⁸ je 256, čo je už viac ako 215). Zapíšeme 1.
2. Potom od čísla 215 odčítame 128 a zisťujeme, či je rozdiel väčší ako najbližšia nižšia mocnina dvoch 2⁶ = 64; 215 – 128 = 87. Je. Výskyt zase zapíšeme ako 1.
3. Ďalej zisťujeme, či sa v čísle 87 – 64 = 23 vyskytuje 2⁵ = 32. Keďže 32 je väčšie ako 23, v tom prípade napíšeme 0.
4. Takto pokračujeme až po 2⁰ = 1. Výsledkom je zápis v poradí v ako sme ho dostali: 110...

Príklad:

 215 = 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 =
= 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 11010111

Číslo 215 v desiatkovej sústave je 11010111 v binárnej sústave.

Zápis priamym kódom znamená, že znak + alebo – vložíme priamo do kódu čísla, ktoré zapisujeme. Prvý bit čísla, ktoré zapisujeme teda dostane hodnotu podľa toho, či je číslo kladné alebo záporné. 0 na začiatku čísla znamená, že bude kladné a 1 znamená, že bude záporné. Táto metóda má svoju nevýhodu v tom, že hodnota, ktorú môžeme vyjadriť n-počtom bitov sa zmenší, keďže jeden bit používame na znamienko. Bez znamienka môžeme vyjadriť hodnoty od 0 po 2ⁿ-1, priamym zápisom  môžeme vyjadriť interval od -2^n-1 po 2^n-1.[2]

Prvý bit čísla, ktoré zapisujeme teda dostane hodnotu podľa toho, či je číslo kladné alebo záporné. 0 na začiatku čísla znamená, že bude kladné a 1 znamená, že bude záporné.

Zápis inverzným kódom nadväzuje na zápis priamym kódom, ale rieši problém nižších hodnôt. Prvý bit stále vyjadruje znamienko čísla, ale zároveň má stále svoju číselnú hodnotu. Takže prvý bit čísla s n bitmi má hodnotu -(2^n-1-1). [1]

${\displaystyle 1010_{2}=-5_{10}}$

${\displaystyle -(8*1-1)+4*0+2*1+1*0=-5}$

Tento zápis vyžaduje najviac krokov, ale je veľmi často používaný a je veľmi výhodný pri aritmetických operáciách s binárnymi číslami. Tak isto ako ostatné zápisy, podľa prvého bitu rýchlo zistíme, či je číslo kladné alebo záporné ale k celému číslu sa dostaneme tromi základnými krokmi.  V príklade uvediem zápis čísla -28 dvojkovým dodatkom.[3]

1)     Zapíšeme číslo v dvojkovej sústave.

${\displaystyle 28_{10}=00011100_{2}}$

2)     Číslo znegujeme. Jednotky prepíšeme na nuly a nuly na jednotky.

${\displaystyle (00011100)\urcorner =11100011}$

3)     Pripočítame 1.

${\displaystyle 11100011+1=11100100}$