Zkosení

Through a zkosení mapping coded in SVG,
a Obdélník se stane Rovnoběžník.

V rovině ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, horizontální zkosení (nebo zkosení rovnoběžné s osou x) je funkce, která převádí libovolný bod se souřadnicemi ${\displaystyle (x,y)}$ na bod ${\displaystyle (x+my,y)}$; kde ${\displaystyle m}$ je pevný parametr nazývaný faktor zkosení.

Toto zobrazení způsobí posun každého bodu vodorovně o hodnotu úměrnou jeho souřadnici ${\displaystyle y}$. Body nad osou ${\displaystyle x}$ se posouvají vpravo (${\displaystyle x}$ se zvětšuje), pokud ${\displaystyle m>0}$ a vlevo, pokud ${\displaystyle m<0}$. Body pod osou ${\displaystyle x}$ se posouvají v opačném směru, a body na ose zůstavají na místě.

Přímky rovnoběžné s osou ${\displaystyle x}$ zůstávají, kde jsou, a všechny ostatní přímky se otočí o určitý úhel kolem bodu, kde protínají osu ${\displaystyle x}$. Konkrétně svislé přímky přejdou na skloněné se směrnicí ${\displaystyle 1/m}$. Faktor zkosení ${\displaystyle m}$ kotangens funkcí úhlu ${\displaystyle \varphi }$, o který se nakloní vertikální přímky, nazývaného úhel zkosení.

Pokud zapisujeme souřadnice bodu jako sloupcový vektor (matice 2×1), zkosení lze zapsat jako násobení maticí 2×2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Vertikální zkosení (nebo zkosení rovnoběžné s osou ${\displaystyle y}$) přímek se chová podobně, ale role os ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ jsou prohozeny. Vertikální zkosení odpovídá násobení souřadnicového vektoru transponovanou maticí:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Svislé zkosení posune body vpravo od osy ${\displaystyle y}$ nahoru nebo dolů, podle znaménka ${\displaystyle m}$. Vertikální přímky ponechá nezměněné, ale všechny jiné přímky nakloní kolem bodu, kde se protínají s osou ${\displaystyle y}$. Konkrétně horizontální přímky budou nakloněny o úhel zkosení ${\displaystyle \varphi }$, čímž se z nich stanou přímky se sklonem ${\displaystyle m}$.

Pro vektorový prostor V a jeho podprostor W, zkosení zachovávající W převádí všechny vektory ve směru rovnoběžném s W.

Přesněji, pokud V je direktní součet W a W′ a vektory zapisujeme jako

v = w + w′

stejně tak typické zkosení zachovávající W je L splňující vztah

L(v) = (Mw + Mw′) = (w + Mw′)

kde M je lineární zobrazení z W′ na W. Pomocí blokové matice lze L zapsat jako

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Shear mapping na anglické Wikipedii.

• Matice zkosení
• Matice transformace

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Zkosení na Wikimedia Commons