Matice zkosení

Matice zkosení (anglicky transvection) je v matematice elementární matice, která reprezentuje přičtení násobku jednoho řádku nebo sloupce k jinému. Takovou matici můžeme dostat z jednotkové matice nahrazením jednoho nulového prvku nenulovou hodnotou.

Typická matice zkosení má následující tvar:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Její název odráží fakt, že matice reprezentuje zkosení. Geometricky bere taková transformace dvojice bodů v lineárním prostoru, které jsou čistě axiálně oddělené podél osy, jejíž řádek v matice obsahuje prvek zkosení, a efektivně nahrazuje tyto páry dvojicemi, jejichž separace už není čistě axiální, ale má dvě vektorové složky. Zkosení osy je tedy vždy vlastním vektorem matice S.

Zkosení rovnoběžné s osou x vede k ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$ a ${\displaystyle y'=y}$. V maticovém tvaru:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Podobně zkosení rovnoběžné s osou y má ${\displaystyle x'=x}$ a ${\displaystyle y'=y+\lambda x}$. V maticovém tvaru:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Je zřejmé, že determinant bude vždy 1, protože bez ohledu na to, kde je prvek zkosení umístěn, bude členem diagonály zkosení, která obsahuje také nulové prvky (protože všechny diagonály zkosení mají délku alespoň dva) a tedy jejich součin je nulový a nemůže přispět do hodnoty determinantu. Každá matice zkosení má tedy inverzi a inverze je jednoduše matice zkosení s opačným prvkem zkosení, reprezentující transformaci zkosení opačným směrem. To je totiž část snadno odvozeného obecnějšího výsledku: pokud S je matice zkosení s prvkem zkosení ${\displaystyle \lambda }$, pak Sⁿ je také matice zkosení, jejíž prvek zkosení je jednoduše n${\displaystyle \lambda }$. Tudíž pro získání n-té mocniny matice zkosení stačí znásobit Faktor zkosení číslem n. To platí i pro záporná n.