Riemannova funkce zeta

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady (zvané zpravidla Dirichletova řada):

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1, a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel.

Je-li s ≤ 1, řada diverguje:

• je-li s = -1, pak

${\displaystyle \zeta (s)=1+2+3+\dots =\infty }$

• je-li s = 0, pak

${\displaystyle \zeta (s)=1+1+1+\dots =\infty }$

• je-li s = 1/2, pak

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+\dots =\infty }$

• je-li s = 1, pak

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots =\infty }$, což je harmonická řada

Je-li s > 1, řada absolutně konverguje:

• je-li s = 2, pak

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1,645}$, což je úloha známá jako Basilejský problém.

Zeta funkce je pro ${\displaystyle s>1}$ rovna tzv. Eulerovu součinu:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in P}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$, kde P je množina všech prvočísel.

Tento součin se poprvé objevil, i když v trochu jiném tvaru, v článku s názvem Variae observationes circa series infinitas („Různé poznámky o nekonečných řadách“) napsaném Leonhardem Eulerem [1].
Důkaz této rovnosti je vlastně postup, jakým Euler k této souvislosti došel, a je následující:
Funkce zeta na levé straně je pro připomenutí ve tvaru

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\dots }$

Nyní vynásobíme obě strany rovnosti číslem ${\displaystyle 1/2^{s}}$ a dostaneme

${\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\dots }$

Tento výraz odečteme od předchozího, což nám dá

${\displaystyle (1-{\frac {1}{2^{s}}})\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+\dots }$

Odečtení vyloučilo všechny členy se sudým jmenovatelem a zůstaly nám jen členy s lichým jmenovatelem. Pokračujeme tak, že obě strany vynásobíme číslem ${\displaystyle 1/3^{s}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}(1-{\frac {1}{2^{s}}})\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+\dots }$

Nyní odečteme tento výraz od předchozího:

${\displaystyle (1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{2^{s}}})\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\dots }$

Z nekonečného součtu zmizely všechny násobky tří. Dále vynásobíme obě strany číslem ${\displaystyle 1/5^{s}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{5^{s}}}(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{2^{s}}})\zeta (s)={\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{25^{s}}}+{\frac {1}{35^{s}}}+{\frac {1}{55^{s}}}+{\frac {1}{65^{s}}}+\dots }$

Odečtením dostaneme

${\displaystyle (1-{\frac {1}{5^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{2^{s}}})\zeta (s)=1+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\dots }$

Je vidět, že při odčítání pravých stran vynecháváme samotné prvočíslo spolu s jeho násobky. Kdybychom v tomto postupu pokračovali až do nekonečna, je zřejmé, že dojdeme k rovnosti

${\displaystyle \dots (1-{\frac {1}{11^{s}}})(1-{\frac {1}{7^{s}}})(1-{\frac {1}{5^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{2^{s}}})\zeta (s)=1}$

Vydělením obou stran této rovnice postupně všemi výrazy v závorkách dostaneme výsledný vzorec, který jsme chtěli dokázat

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{7^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{11^{s}}}}}\dots =\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}}$

Jak součet na levé straně, tak i součin na pravé pokračují do nekonečna. To ve skutečnosti poskytuje důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Kdyby jich totiž byl konečný počet, pak by i součin na pravé straně měl konečný počet členů a pro každé číslo s by měl určitou konečnou hodnotu. Když s = 1, pak na levé straně dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. A protože nekonečno na levé straně rovnice se nemůže rovnat konečnému číslu napravo, musí být prvočísel nekonečně mnoho.

Nekonečná řada může definovat funkci jen na části jejího definičního oboru a právě tohle platí i pro funkci zeta ve smyslu analytického prodloužení původní Dirichletovy řady. Funkce zeta má totiž konečné hodnoty pro všechny komplexní argumenty s ≠ 1.

Následuje základní myšlenka, jak zjistit hodnoty funkce ${\displaystyle \zeta (s)}$ pro s < 1. Nejdříve se zavede nová funkce

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-\dots }$

Tato nekonečná řada se nazývá alternující řada a konverguje pro s > 0.
Řadu ${\displaystyle \eta (s)}$ lze zapsat jako

${\displaystyle {\Big (}1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\dots {\Big )}}$

minus

${\displaystyle 2{\Big (}{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\dots {\Big )},}$

kde první závorka je vlastně ${\displaystyle \zeta (s)}$. Vytknutím ${\displaystyle 1/2^{s}}$ z druhého výrazu a úpravou vznikne

${\displaystyle \eta (s)=\zeta (s)-2{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=\zeta (s){\Big (}1-2{\frac {1}{2^{s}}}{\Big )}.}$

Vyjádřením ${\displaystyle \zeta (s)}$ vyjde ke vztah

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-{\frac {1}{2^{s-1}}}}}}$

ze kterého je možné vypočítat hodnoty ${\displaystyle \zeta (s)}$ pro s mezi 0 a 1. V 0 je hodnota funkce zeta rovna -1/2.

Nyní je třeba zjistit, jak je to s argumenty funkce zeta, které jsou menší než 0. V Riemannově článku z roku 1859 je důkaz vzorce, kterou poprvé navrhl Euler v roce 1749 a která vyjadřuje ${\displaystyle \zeta (1-s)}$ pomocí ${\displaystyle \zeta (s)}$:

${\displaystyle \zeta (1-s)=2^{1-s}\pi ^{-s}\sin {\Big (}{\frac {1-s}{2}}\pi {\Big )}(s-1)!\zeta (s).}$

Tímto vztahem se vypočítají hodnoty funkce zeta pro záporná celá čísla s.
Aby však bylo možná spočítat hodnoty funkce zeta pro všechna reálná s < 0, je nutné použít následující vzorec

${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma {\Big (}{\frac {s}{2}}{\Big )}\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma {\Big (}{\frac {1-s}{2}}{\Big )}\zeta (1-s),}$

který dokázal Riemann v roce 1859. Velké písmeno řecké abecedy ${\displaystyle \Gamma }$ v této rovnici je funkce funkce gama, která je rozšířením faktoriálu do reálných a komplexních čísel.

Vybrané hodnoty analytického prodloužení

• ${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$
• ${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}};}$
• ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}\right)=-1{,}4603545...}$[2]
• pro s = 1 diverguje: ${\displaystyle \zeta (1)=\infty$ ;} .

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která ${\displaystyle \zeta (s)=0}$. Lze je rozdělit na

• triviální – všechna sudá záporná celá čísla
• netriviální – ostatní, leží v tzv. kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na tzv. kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.

• DERBYSHIRE, John. Posedlost prvočísly. Praha: Academia, 2007.
• DEVLIN, Keith. Problémy pro třetí tisíciletí. Praha: Argo, Dokořán, 2005.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Riemannova funkce zeta na Wikimedia Commons