Gama funkce
Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, především pro popis některých rozdělení ve statistice.
Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:
Ačkoliv integrál samotný konverguje jen je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní (a tedy i reálné) číslo, kromě nuly a celých záporných čísel (−1, −2, …).
Vlastnosti
Funkce je spojitá pro . Funkce diverguje pro celá . Tyto body jsou póly prvního řádu a odpovídající rezidua jsou . Jiné singularity nemá a jedná se tedy o funkci meromorfní v celém oboru .
Pro n-tou derivaci platí vztah
- .
V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě .
Užitečné vztahy
- Pro přirozená čísla platí
Některé hodnoty
(nedefinováno) (nedefinováno) (nedefinováno)
Grafy
- Reálná část Γ(z)
- Imaginární část Γ(z)
- Absolutní hodnota Γ(z)
- Absolutní hodnota Γ(z), 3D pohled
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu gama funkce na Wikimedia Commons
- Gama funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
- Online kalkulátor Gama funkce