Problémy tisíciletí

P versus NP je jediný ze sedmi problémů tisíciletí, který se týká počítačů. Otázka zní, zda je třída složitosti NP rovna třídě složitosti P. Jinými slovy, zda problémy, pro něž lze jejich řešení ověřit v polynomiálním čase, lze též v polynomiálním čase vyřešit. Všeobecně se soudí, že nikoliv, tedy že existují „těžké“ problémy, jejichž řešení nelze nalézt v polynomiálním čase.

Hodgeova domněnka se týká topologie a tvrdí, že pro projektivní algebraické variety jsou Hodgeovy cykly racionální lineární kombinací algebraických cyklů.

Poincarého domněnka se rovněž týká topologie a jako jediná z problémů tisíciletí byla již vyřešena. Důkaz podal roku 2003 Grigorij Perelman; jeho správnost byla potvrzena v srpnu 2006.

Domněnka tvrdí, že každý jednoduše souvislý trojrozměrný povrch je ekvivalentní povrchu čtyřrozměrné koule.

Riemannova hypotéza je jediným dosud nevyřešeným problémem z Hilbertova seznamu.[1] Formuloval ji již v roce 1859 Bernhard Riemann. Hypotéza spojuje elegantním způsobem matematickou analýzu a teorii čísel a má hluboký význam pro rozložení prvočísel. Tvrdí, že všechny netriviální nulové body Riemannovy funkce zeta mají reálnou část rovnu 1/2.

Yangovy-Millsovy rovnice popisující chování elementárních částic jsou zobecněnou verzí Maxwellových rovnic. Nejsou však formulovány jako rigorózní matematická teorie, což je právě požadavek tohoto problému tisíciletí. Důležitou součástí této teorie je tzv. hypotéza hmotnostních rozdílů, která se týká předpokládaných řešení Yangových-Millsových rovnic a vysvětlila by mimo jiné, proč mají elektrony hmotnost.

Navierovy-Stokesovy rovnice jsou parciální diferenciální rovnice, které popisují proudění kapalin a plynů. Byly formulovány již v 19. století, dosud však není jasné, zda pro dané počáteční podmínky existuje jejich řešení. Úspěšné vyřešení tohoto problému by například přispělo k porozumění turbulencím.

Tato domněnka tvrdí, že pro jistý typ rovnic existuje relativně jednoduchý způsob, jak určit, zda má daná rovnice konečný, nebo nekonečný počet řešení v racionálních číslech. Pro obecné diofantické rovnice bylo důkazem Matijasevičovy věty prokázáno, že nelze dokonce ani určit, zda rovnice má vůbec nějaké řešení.

• Keith Devlin: Problémy pro třetí tisíciletí, nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2005, ISBN 80-7363-016-8 (Dokořán), ISBN 80-7203-739-0 (Argo)

• Hilbertovy problémy
• Matematický důkaz

• ScienceWorld: Hodgeova domněnka – vrchol současné matematické abstrakce
• ScienceWorld: Henri Poincaré a jeho domněnka
• (anglicky) The Millennium Grand Challenge in Mathematics
• (anglicky) The Millennium Prize Problems