Volná částice

V klasické fyzice je volná částice charakterizována konstantní rychlostí. Hybnost volné částice se také nemění a je určena jako

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

Energii volné částice lze vyjádřit jako

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}}$,

kde ${\displaystyle m}$ je hmotnost částice a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ je vektor její rychlosti.

V nerelativistické kvantové mechanice lze volnou částici popsat Schrödingerovou rovnicí ve tvaru

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

Řešení této rovnice pro určitou hybnost má tvar rovinné vlny

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

s podmínkou

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$,

kde ${\displaystyle \mathbf {r} }$ je polohový vektor, ${\displaystyle t}$ je čas, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ je vlnový vektor a ${\displaystyle \omega \,}$ je úhlová frekvence.

Částici, která je popsána uvedenou vlnovou funkcí, nelze v důsledku relací neurčitosti lokalizovat. Při přesně dané hodnotě hybnosti se totiž částice může nacházet v libovolném bodě prostoru se stejnou pravděpodobností. Vzhledem k tomu, že pravděpodobnost nalezení částice v celém (nekonečném) prostoru musí být rovna jedné, tzn. ${\displaystyle \int \psi ^{\star }\psi \mathrm {d} V=1}$, je pro konkrétní hodnotu hybnosti problém normalizovat vlnovou funkci.

Pro střední hodnotu hybnosti v uvedeném případě platí

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |-\mathrm {i} \hbar \nabla |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} }$

Střední hodnota energie je pak udána jako

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega }$

Dosazením z předchozích vztahů do omezující podmínky lze získat vztah mezi energií a hybností pro nerelativistickou hmotnou částici, tzn.

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}}$,

kde ${\displaystyle p=|\mathbf {p} |}$.

Grupová rychlost vlny je

${\displaystyle \left.\right.v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} p}}=v}$,

kde ${\displaystyle v}$ je klasická rychlost částice.

Fázová rychlost vlny je určena jako

${\displaystyle \left.\right.v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}}$

V obecném případě nemusí mít volná částice určitou hybnost nebo energii. V takovém případě lze vlnovou funkci volné částice vyjádřit jako superpozici vlastních funkcí hybnosti volné částice, tedy

${\displaystyle \left.\right.\psi (\mathbf {r} ,t)=\int A(\mathbf {k} )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} }$,

kde integrace probíhá přes všechna ${\displaystyle \mathbf {k} }$.

V obecném případě není hybnost částice určena jednou hodnotou, takže částici je možné lokalizovat (viz vlnový balík).

Kvantová teorie umožňuje popsat také relativistické volné částice, přičemž používá k jejich popisu různé rovnice (podle druhu částice), např.

• Kleinova–Gordonova rovnice - popisuje volné částice bez spinu a elektrického náboje
• Diracova rovnice - popisuje volnou částici se spinem ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ a elektrickým nábojem (tedy elektron)

• Částice

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Free particle na anglické Wikipedii.