Booleova algebra

Booleova algebra je definována jako distributivní komplementární svaz.[2]

Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra je šestice (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdná množina, 0 ∈ A je nejmenší, 1 ∈ A největší prvek, − je unární operace (doplněk neboli komplement) a ∧, ∨ jsou binární operace (průsek a spojení) na A, splňující následující axiomy.

Komutativita:	${\displaystyle x\lor y=y\lor x}$	${\displaystyle x\land y=y\land x}$
Distributivita:	${\displaystyle x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)}$	${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$
Neutralita 0 a 1:	${\displaystyle x\lor 0=x}$	${\displaystyle x\land 1=x}$
Komplementarita:	${\displaystyle x\lor -x=1}$	${\displaystyle x\land -x=0}$

Někdy se uvádí ještě axiom nedegenerovanosti: ${\displaystyle 0\neq 1}$. Při jeho zavedení pak triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou není Booleovou algebrou.

Pro Booleovu algebru A a každé x, y, z ∈ A platí:

• asociativita: (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
• absorpce: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x
• agresivita nuly: x ∧ 0 = 0
• agresivita jedničky: x ∨ 1 = 1
• idempotence: x ∨ x = x, x ∧ x = x
• absorpce negace: x ∨ (−x ∧ y) = x ∨ y, x ∧ (−x ∨ y) = x ∧ y
• dvojitá negace: −(−x) = x
• De Morganovy zákony: −x ∧ −y = −(x ∨ y), −x ∨ −y = −(x ∧ y)
• 0 a 1 jsou vzájemně komplementární: −0 = 1, −1 = 0

Dvouprvková algebra je algebra nad množinou A = {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem, tj. 0 a 1 jsou vzájemně komplementární a protože platí 0 < 1, průsek (infimum) je menší z operandů, spojení (supremum) je větší z operandů:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle x\lor y}$	${\displaystyle x\land y}$
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	1

Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde o spor, nýbrž o dvojí značení jednoho prvku). Všechny operace dávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když nepoužijeme axiom nedegenerovanosti.

Prakticky používanými příklady Booleových algeber jsou algebry výroků (či obecněji Lindenbaumovy algebry formulí) a množinové algebry.

• U algeber výroků v dvouhodnotové logice je A = {nepravda, pravda} a operace odpovídají konjunkci, disjunkci a negaci; pokud ztotožníme 0 = nepravda, 1 = pravda, algebra přejde na výše uvedenou dvouprvkovou algebru nad množinou A = {0, 1}
• Lindenbaumovy algebry jsou definovány nad množinou A všech tříd ekvivalence formulí daného jazyka a operace jsou stejné jako u algeber výroků.
• U množinových algeber je algebra definována nad množinou všech podmnožin (potenční množinou) libovolné množiny S, tzn. A = 2^S, nejmenším prvkem 0 je prázdná množina, největším prvkem 1 je celá množina S a operace odpovídají průniku, sjednocení a doplňku do množiny S.