Svaz (matematika)

Množinu ${\displaystyle X}$ uspořádanou relací ${\displaystyle R}$ nazveme svazem, pokud pro každou dvouprvkovou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.[1]

${\displaystyle (\forall a,b\in X)(\exists i,s\in X)((i=\inf _{R}\{a,b\})\land (s=\sup _{R}\{a,b\}))}$

Jako horní polosvaz se označuje uspořádaná množina zachovávající suprema:

${\displaystyle (\forall a,b\in X)(\exists s\in X)(s=\sup _{R}\{a,b\})}$

A jako dolní polosvaz se označuje uspořádaná množina zachovávající infima:

${\displaystyle (\forall a,b\in X)(\exists i\in X)(i=\inf _{R}\{a,b\})}$

Takže jde také definovat, že uspořádaná množina je svazem právě tehdy, je-li zároveň horním i dolním polosvazem.

Zajímavými příklady svazu jsou řetězec a protiřetězec. Pokud ${\displaystyle X\,\!}$ obsahuje právě jeden prvek, pak jej nazýváme triviální svaz.

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací "být podmnožinou") je svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem

• ${\displaystyle \inf _{\subseteq }\{a,b\}=a\cap b\,\!}$
• ${\displaystyle \sup _{\subseteq }\{a,b\}=a\cup b\,\!}$

Uvažujme o množině všech přirozených čísel a o uspořádání ${\displaystyle R\,\!}$, pro které platí, že
${\displaystyle a\leq _{R}b\Leftrightarrow a|b\,\!}$ (tj. a je menší než b, pokud a dělí b)
Opět se jedná o svaz, protože nejmenší společný násobek je supremum a největší společný dělitel je infimum dvouprvkové množiny přirozených čísel podle tohoto uspořádání.

Na svazu lze poměrně snadno definovat dvě binární operace, které označují supremum a infimum dvouprvkové množiny (můžeme si je nazvat třeba součet a součin).

Svaz je pak zapisován jako ${\displaystyle (X,\land ,\vee )\,\!}$, kde
${\displaystyle a,b\in X}$ a platí ${\displaystyle a\land b=\inf _{R}\{a,b\}}$ a zároveň ${\displaystyle a\vee b=sup_{R}\{a,b\}\,\!}$

Pokud existují prvek 0 a 1 (tj. nejmenší a největší prvek svazu), pak komplementem prvku a nazveme prvek (značený obvykle -a), který je k němu opačný ve smyslu svazových operací:

• ${\displaystyle a\land -a=0\,\!}$
• ${\displaystyle a\vee -a=1\,\!}$

Svaz, ve kterém má každý prvek alespoň jeden komplement, nazveme komplementárním svazem.[2]