Třída (matematika)

Pohled na pojem třída se výrazně liší podle toho, v jakém systému teorie množin je používán.

V původní naivní teorii množin tento pojem splývá s pojmem množina, který je zde definován jako „dobře popsaný soubor objektů“. Po objevení zásadních nesrovnalostí v takto pojaté teorii množin (označovaných jako paradoxy – vizte například Russellův paradox, Cantorův paradox) byla teorie množin postavena na axiomatické základy.

To mimo jiné znamenalo, že objekty, z výše uvedené definice byly omezeny na množiny – jediné, co může ve světě teorie množin někam náležet (ve smyslu „být prvkem“), je množina. Svět teorie množin se tak rozdělil na dva typy objektů – ty, které někam náležejí (množiny), a ty, do kterých něco náleží (třídy).

Přístup k zavedení tříd se liší podle použité axiomatické soustavy:

• V nejpoužívanější Zermelově-Fraenkelově teorii množin (označované obvykle ZF) jsou třídy zaváděny mimo vlastní jazyk teorie množin – jako metajazykový pojem, který je používán pro rozdělení množin na ty, které splňují, a které nesplňují nějakou formuli, kterou lze o množinách vyslovit. Pomocí každé formule ${\displaystyle \phi \,\!}$ lze tedy všechny množiny rozdělit na ty, které ji splňují (to je třída „spřažená“ s touto formulí, obvykle označovaná ${\displaystyle \{x:\phi \}\,\!}$), a ostatní: ${\displaystyle \{x:\neg \phi \}\,\!}$ .
• Ve Von Neumannově-Bernaysově-Gödelově teorii množin (označované obvykle NBG) jsou již v její axiomatice rozlišeny dva typy objektů – množiny a třídy. Množiny jsou pak (podle axiomu definice množiny) ty třídy, které náležejí do jiné třídy: ${\displaystyle Set(X)\Leftrightarrow (\exists Y)(X\in Y)\,\!}$

Ať již se při definici postupuje „zezdola“ (od množin k třídám) jako v případě ZF nebo „seshora“ (od tříd k množinám) jako v případě NBG, v obou případech lze o vztahu tříd a množin vyslovovat stejná tvrzení – následující odstavec tedy je platný jak v ZF, tak NBG.

Každá množina ${\displaystyle x\,\!}$ je zároveň třída (nebo přesněji – lze ji ztotožnit s právě jednou třídou danou předpisem ${\displaystyle x=\{y:y\in x\}\,\!}$ ). Naopak to ale neplatí. V axiomatických soustavách teorie množin se z původních paradoxů naivní teorie množin staly vlastně důkazy, že nějaká konkrétní třída není množinou – taková třída se nazývá vlastní. Například Cantorův paradox převeden do řeči moderní teorie množin říká, že univerzální třída ${\displaystyle \mathbb {V} =\{x:x=x\}\,\!}$ není množina, ale vlastní třída.

Třídy se tedy dělí na „malé“ množiny a na „velké“ vlastní třídy. Přívlastky „malé“ a „velké“ je v tomto kontextu nutné brát s rezervou – označit například nekonečnou množinu ${\displaystyle \aleph _{\omega }\,\!}$ (viz funkce alef) za „malou“ vyžaduje poměrně „velkou“ dávku odvahy.

• Teorie množin
• Naivní teorie množin
• Vlastní třída
• Univerzální třída
• Burali-Fortiho paradox