Souřadnicový zápis tenzorových veličin

Metrický tenzor udává diferenciální nárůst vzdálenosti s při změně součadnic ${\displaystyle x^{i}}$ podle vztahu

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}(x^{k})\;\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}.\,}$

Vzdálenost se pak měří po křivce, podél které se tento vztah zintegruje. Metrický tenzor rovněž určuje velikost vektorů podle vztahu

${\displaystyle |A|^{2}\equiv g_{ij}\;A^{i}A^{j}.}$

Běžně se zavádí také metrický tenzor v kontravariantním tvaru ${\displaystyle g^{ij}}$, který je definován vztahy

${\displaystyle g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}.}$

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů jsou provázány následujícími dvěma vztahy (A je n-krát kontravariantní a m-krát kovariantní tenzor (m+n)-tého řádu, jehož k-tý index (vždy z příslušné skupiny indexů) snižujeme, resp. zvyšujeme):

${\displaystyle g_{i_{k}j}{A^{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{k}i_{(k+1)}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{m}}={A^{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{(k+1)}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{m}j}}$

${\displaystyle g^{i_{k}j}{A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{k}i_{(k+1)}\dots i_{m}}={A^{i_{1}\dots i_{n}j}}_{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{(k+1)}\dots i_{m}}}$

Chceme-li, aby námi užívaný formalismus platil v libovolné souřadné soustavě, je potřeba definovat permutační znak a Kroneckerovo delta tak, aby šlo o tenzorové veličiny, a to s důrazem na správnou polohu indexů. Zpravidla se používá méně obecné zavedení.

${\displaystyle \delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{je-li }}i=j\\0&{\mbox{je-li }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Takto definované Kroneckerovo delta se transformuje jako tenzor a má v každé souřadné soustavě stejný tvar. [1] Snížením nebo zvýšením indexu metrikou vidíme, že je totožné s metrickým tenzorem, neboť

${\displaystyle g_{ij}\delta _{k}^{j}=g_{ik},\,}$

${\displaystyle g^{ik}\delta _{k}^{j}=g^{ij}.\,}$

Požadavek nezávislosti na souřadné soustavě znemožňuje stejně jednoduché zavedení permutačního symbolu. Obecněji se proto v křivých prostorech zavádí podle následující definice:

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}={\sqrt {|g|}}}$ je-li ${\displaystyle \scriptstyle i_{k}=k,\;\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

${\displaystyle \varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} g}{\sqrt {|g|}}}}$ je-li ${\displaystyle \scriptstyle i_{k}=k,\;\varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

${\displaystyle \scriptstyle g\equiv \det g_{ij}}$ je přitom determinant z metrického tenzoru. Tím, že definujeme ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ pro jedno uspořádání indexů a tím, že změní znaménko při záměně každých dvou indexů, je definice jednoznačná. Z ní také plyne, že pokud jsou dva indexy shodné, permutační symbol má nulovou hodnotu. Při této definici se ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ transformuje jako tenzor. Obvyklé je také zavedení ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=\varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=1}$ pro ${\displaystyle i_{k}=k}$[1], kde obětujeme tenzorové transformační vlastnosti za jednoduchost zápisu.

V rovném prostoru a kartézské souřadnicové soustavě obě definice přechází v klasické zavedení permutačního symbolu.

Chceme-li souřadnicově zapsat vektorové (tenzorové) diferenciální operátory, zavádí se tzv. operátor čárky pro derivování podle souřadnic, a to následujícím způsobem:

${\displaystyle {A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m},k}\equiv {\partial }_{k}{A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m}}\equiv {\frac {{\partial A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m}}}{\partial x^{k}}}.}$

Pracujeme-li v souřadných soustavách, které mají nekonstantní metrický tenzor, prostá parciální derivace souřadnic tenzorového pole není tenzorové pole. Proto se v definici diferenciálních operátorů zavádí tzv. kovariantní derivace, která tuto vlastnost má. V souřadnicovém formalismu se zpravidla značí středníkem. Nejčastěji je definována přes Levi-Civitovu beztorzní konexi generovanou metrikou.