Peanova aritmetika

(PA) je teorie v jazyce aritmetiky. Jejími axiomy jsou axiomy (Q1)–(Q7) Robinsonovy aritmetiky a navíc všechny instance následujícího axiomatického schématu pro formuli ${\displaystyle \varphi }$ jazyka aritmetiky:

• ${\displaystyle \left(\varphi (0)\land (\forall x)(\varphi (x)\rightarrow \varphi (Sx))\right)\rightarrow (\forall x)\varphi (x)}$ (schéma indukce)

Slovy: Pokud formule platí pro ${\displaystyle 0}$ a zároveň z platnosti formule pro ${\displaystyle x}$ plyne platnost pro následníka ${\displaystyle x}$ potom formule platí pro všechna ${\displaystyle x}$.

Jelikož toto schéma kvantifikuje přes formule ${\displaystyle \varphi }$, což na logické úrovni odpovídá predikátům, tak predikátová logika prvního řádu není dostatečně expresivní pro formalizaci Peanovy aritmetiky a je nutné použít nějakou logiku vyššího řádu. To má praktické důsledky například při snahách o formalizaci aritmetiky pro automatické dokazovače a proof assistanty.

• Peanova aritmetika je neúplná a dokonce rekurzivně nezúplnitelná teorie (tj. každá její nadteorie s rekurzivně zadanou množinou axiomů je neúplná). To je tvrzení první Gödelovy věty.
• Peanova aritmetika má ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ (viz funkce alef) různých úplných rozšíření.
• Peanova aritmetika je nerozhodnutelná teorie.
• V Peanově aritmetice jsou nedokazatelná následující tvrzení:
  • „Peanova aritmetika je bezesporná“. To říká druhá Gödelova věta.
  • Goodsteinova věta
  • Jisté silnější verze Ramseyovy věty.
• V Peanově aritmetice jsou dokazatelné všechny základní vlastnosti přirozených čísel jako jsou:
  • komutativita a asociativita + a ${\displaystyle \cdot }$
  • distributivita + vzhledem k ${\displaystyle \cdot }$
  • linearita uspořádání ${\displaystyle \leq }$
  • existence a jednoznačnost dělení se zbytkem
• V Peanově aritmetice je definovatelná funkce ${\displaystyle x^{y}}$, o které jsou dokazatelné všechny její přirozené vlastnosti.
• V Peanově aritmetice lze vyjádřit základní pojmy logické syntaxe i sémantiky jako jsou dokazatelnost nebo bezespornost.
• Peanova aritmetika je ekvivalentní teorii konečných množin (tj. Zermelo-Fraenkelově teorii množin, v níž je axiom nekonečna nahrazen jeho negací).
• První Stoneův prostor Peanovy aritmetiky má mohutnost kontinua.
• Peanova aritmetika nemá spočetný saturovaný model.

• Peanovy axiomy
• Robinsonova aritmetika
• Presburgerova aritmetika
• Gödelovy věty o neúplnosti