Peanovy axiomy

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

• ${\displaystyle (\exists x)(\forall y)(y'\neq x)}$
• ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x'=y)}$
• ${\displaystyle (\forall x)(\forall y)(x'=y'\rightarrow x=y)}$
• ${\displaystyle (\forall \varphi )(\varphi (0)\land (\forall x)(\varphi (x)\rightarrow \varphi (x'))\rightarrow (\forall x)\,\varphi (x))}$

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

• Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následníkem žádného čísla.
• Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
• Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
• Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost ${\displaystyle \varphi }$. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud ${\displaystyle p}$ je výrok závisející na ${\displaystyle n}$, tak:

${\displaystyle \exists n'\in \mathbb {N} \ (p(n')\wedge (\forall n\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ (p(n)\implies p(n+1)))\implies \forall m\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ p(m)}$.

Pokud je možné najít ${\displaystyle n'}$ pro které platí výrok ${\displaystyle p}$ a pokud pro výrok ${\displaystyle p}$ platí pro ${\displaystyle n}$ větší ${\displaystyle n'}$, tak platí pro ${\displaystyle n+1}$, potom výrok ${\displaystyle p}$ platí pro každé ${\displaystyle m}$ větší ${\displaystyle n'}$.