Laminární proudění

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách – „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity.

Laminární proudění

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky

Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které je potenciálové.

Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění

Uvažujme v trubici o poloměru $r$ malý válec kapaliny o poloměru $x$ a délce $\Delta l$ . Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak $p_{1}$ a na výstupní průřez tlak $p_{2}$ . Tlakový rozdíl na délce $\Delta l$ má hodnotu $\Delta p=p_{1}-p_{2}$ . Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

F=\pi x^{2}\Delta p

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

F_{t}=2\pi x\Delta l\tau

,

kde $\tau$ je tečné napětí.

Při ustáleném proudění musí být $F$ a $F_{t}$ v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

\pi x^{2}\Delta p=-2\pi x\Delta l\eta {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

v=-{\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}x^{2}+k

,

kde $k$ je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. $v=0$ pro $x=r$ . Po dosazení úpravě dostaneme

v={\frac {1}{4\eta }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} l}}(r^{2}-x^{2})

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti $v$ na $x$ (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok $Q_{v}$ . Rychlost $v$ je v určité vzdálenosti $x$ od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti $x$ a šířce $\mathrm {d} x$ proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

\mathrm {d} Q_{v}=2\pi xv\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}(r^{2}-x^{2})x\mathrm {d} x

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

Q_{v}={\frac {\pi r^{4}}{8\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskózní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu ${\frac {\Delta p}{\Delta l}}$ a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě $\eta$ .

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

v_{\mbox{max}}={\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}r^{2}

a nachází se na ose trubice ( $x=0$ ).

Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice ( $S=\pi r^{2}$ ), tzn.

v_{s}={\frac {Q_{v}}{S}}={\frac {1}{8\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}r^{2}={\frac {1}{2}}v_{\mbox{max}}

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.

O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body $A,B$ na ose trubice ve vzdálenosti $s$ a dva body $C,D$ na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že $D$ se nachází na stejném řezu trubicí jako $A$ a bod $C$ se nachází na stejném řezu jako $B$ . Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body $A,D$ a $B,C$ je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

\oint v\mathrm {d} s=\int _{A}^{B}v\mathrm {d} s=v_{\mbox{max}}s

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že $\operatorname {rot} v$ je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé.

Tlakový spád ${\frac {\Delta p}{\Delta l}}$ je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

F\sim {\frac {\Delta p}{\Delta l}}\sim v_{s}

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní.

Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články

Externí odkazy

Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.