Periodická funkce

Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou trigonometrické funkce (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.

Periodická funkce s periodou P
Jedna perioda funkce sinus a kosinus
Jednoduché periodické funkce

Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá amplituda a převrácená hodnota periody je frekvence.

Funkce, které nejsou periodické, se nazývají aperiodické.

Definice

Přesněji můžeme říci, že funkce je periodická s periodou , jestliže

pro všechny hodnoty v definiční oblasti . Pro všechna celá čísla n také platí

Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například

Perioda funkce je rovna 1 a .

Nejmenší kladné číslo , které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu stejný.

Obecná definice

Nechť je množina s interní operací . Potom P-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou P na je funkce na taková, že

.

Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že je komutativní, v této definici píšeme napravo.

Funkce, jejichž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít dvě nesouměřitelné periody, aniž by se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé.)

Periodické řady

Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Můžeme proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.

Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s periodami P, 2P, 3P atd.

Translační symetrie

Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.

Související články
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.