Prekompaktní množina

Množina ${\displaystyle M}$ v metrickém prostoru se nazývá prekompaktní, jestliže ke každému ${\displaystyle \epsilon >0}$ existuje v ${\displaystyle M}$ konečná množina bodů ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in M}$ s vlastností ${\displaystyle M\subset \bigcup _{i=1}^{n}U(x_{i},\epsilon )}$, kde ${\displaystyle U(x_{i},\epsilon )}$ jsou ${\displaystyle \epsilon }$-okolí ${\displaystyle x_{i}}$ (koule se středem ${\displaystyle x_{i}}$ a poloměrem ${\displaystyle \epsilon }$).

Množina ${\displaystyle M}$ je prekompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti prvků ${\displaystyle M}$ lze vybrat cauchyovskou posloupnost.

Prekompaktní množina je omezená. Kompaktní množiny jsou ty, které jsou prekompaktní a úplné.

Na úplných metrických prostorech prekompaktní množiny a relativně kompaktní množiny splývají.

• Kompaktní zobrazení