Poissonova závorka

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi ${\displaystyle (q_{i},p_{j})}$ dvě funkce ${\displaystyle f(p_{i},q_{i},t)\,}$ a ${\displaystyle g(p_{i},q_{i},t)\,}$. Poissonova závorka má pak tvar

${\displaystyle \{f,g\}=\{f,g\}_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].}$

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky ${\displaystyle \{f,g\}}$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

${\displaystyle \{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

${\displaystyle \{f,f\}=0}$

Dále platí

${\displaystyle \{(f_{1}+f_{2}),g\}=\{f_{1},g\}+\{f_{2},g\}}$

${\displaystyle \{(f_{1}f_{2}),g\}=f_{1}\{f_{2},g\}+f_{2}\{f_{1},g\}}$

Platí také tzv. Jacobiho identita

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}}$

• Lagrangeova závorka
• Diracova notace
• Komutátor