Operátor
Operátor je v matematice takové zobrazení, které prvku nějakého prostoru (například funkci) f přiřazuje prvek jiného prostoru g, tedy
- ,
kde . Působením operátoru na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor , zobrazující prostor X do prostoru Y.
Operátor se obvykle značí stříškou, například , apod.
Prvek se nazývá vzor (originál), prvek obrazem.
Množina všech , které přísluší všem , tedy množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru . Obvykle se značí . Pokud operátor není definován pro všechna , pak se množina těch , pro které definován, nazývá definičním oborem operátoru.
Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje symbol nějaké matematické transformace, například znaménko + jako symbol přičítání.
Funkcionál
Pokud je množina reálných, případně komplexních čísel, takže proměnná g je reálné či komplexní číslo, pak se operátor nazývá (reálný či komplexní) funkcionál.
Vybrané druhy operátorů
Lineární operátor
Lineární operátor je takový operátor, pro který platí
kde jsou libovolné funkce a jsou libovolné koeficienty.
Linearitu operátoru stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty a libovolné vektory takové, že a , pak platí
Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.
Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:
1) (x+y) = (x) + (y),
2) (cx) = c (x), kde c je konstanta.
Lineárním operátorem je například limita, když x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.
Antilineární operátor
Operátor se označuje jako antilineární, jestliže platí
- ,
kde jsou libovolné funkce a jsou koeficienty komplexně sdružené k .
Operátor identity
Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) , pro který platí
Působením operátoru identity tedy nedochází k žádné změně.
Totožné operátory
Pokud pro dva operátory z X do Y platí pro každé , pak jsou oba operátory totožné.
Spojitý operátor
Operátor se nazývá spojitý v bodě , jestliže pro každou posloupnost prvků z , pro kterou v prostoru platí , platí také , tzn. , v prostoru .
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě , je spojitý v každém bodě .
Omezený operátor
Operátor je ohraničený (omezený) operátorem tehdy, jestliže existuje takové (nezávislé na f), že pro každé platí
- ,
kde je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a je norma prvku v prostoru Y.
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Infimum čísel operátoru představuje normu operátoru , tzn.
Normu lze také získat jako supremum množiny čísel pro všechny jednotkové prvky f, tzn.
Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor
Operátor se označuje jako symetrický, jestliže platí
kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.
Omezený symetrický operátor se označuje jako hermiteovský.
Operátor se označuje jako antihermiteovský, je-li operátor hermiteovský.
K operátoru existuje sdružený operátor , který splňuje vztah
neboli
Platí vztahy
Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.
Samosdružený operátor je pozitivní, když pro každé platí
Operátor se označuje jako normální, když platí
- ,
kde označují komutátor.
Inverzní operátor
Operátor je inverzním operátorem k , pokud platí
- ,
kde představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)
Unitární operátor
Operátor je unitární, pokud platí
neboli
- ,
kde je operátor identity.
Pro libovolný unitární operátor platí
Jestliže operátor splňuje vztah
- ,
pak operátor označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah , avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být .
Projekční operátor
Omezený operátor se označuje jako projekční, splňuje-li podmínky
Je-li projekční operátor, pak je projekčním operátorem také
- ,
kde představuje operátor identity. Platí přitom vztahy
Je-li vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na lze vyjádřit jako
Jestliže množina vektorů tvoří ortonormální bázi podprostoru , pak projekční operátor do vyjádříme jako
Pokud je , pak je projekční operátor operátorem identity, takže
Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).
Operace s operátory
Součtem dvou operátorů vznikne operátor , pro který platí
Operátor označíme jako součin operátorů a , tzn. , pokud pro každé u platí
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například .
Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory neplatí . Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů , zavádíme tzv. komutátor operátorů
Dva nekomutativní operátory splňují pro některé u vztah
Dva komutativní operátory splňují pro libovolné u vztah
Jsou-li lineární hermiteovské operátory komutativní, pak mají společné vlastní funkce.
Jestliže operátory komutují, tedy , pak pro libovolné funkce f, g platí
Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů
Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:
Platí také Jacobiho identita
Příklad
Použití
Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.
Arita
Arita jako pojem udává počet operandů daného operátoru:
- unární - operátor s jedním operandem, například negace, ať aritmetická, logická či doplněk množiny (v rámci zamlčeného definičního oboru).
- binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. Například: +-*^
- ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je ternární operátor z programování.
Slovo "arita" pochází z latinského kořene adjektiva popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-ár(ní), bin-ár(ní), tern-ár(ní)...