Obojetná množina

Obojetná množina (anglicky clopen set) je v topologických prostorech taková množina, které je současně otevřená i uzavřená. Existence takových množin se může zdát v rozporu s intuicí, protože v běžném použití jazyka je otevřený opakem uzavřeného, ale matematické definice těchto dvou pojmů se vzájemně nevylučují: množina je uzavřená, pokud její doplněk je otevřený, což ponechává možnost, že doplněk otevřené množiny je také otevřený, takže obě množiny jsou současně otevřené i uzavřené, a proto jsou obojetné.

Graf s několika obojetnými množinami. Každá ze tří částí (které jsou souvislými komponentami) je obojetná množina, stejně jako sjednocení jakýchkoli dvou všech tří komponent.

Příklady

V jakémkoli topologickém prostoru X jsou jak prázdná množina tak celý prostor X obojetnými množinami.[1][2]

Pokud uvažujeme prostor X, který sestává ze sjednocení dvou otevřených intervalů (0,1) a (2,3) množiny R s topologie zděděnou od R, tj. s běžnou topologií na reálné ose R. V X je množina (0,1) obojetná, stejně jako množina (2,3). Toto je docela typický příklad: když je možné prostor rozložit na konečný počet disjunktních souvislých komponent, pak všechny komponenty budou obojetné.

Nechť je nyní X nekonečná množina s diskrétní metrikou, což znamená že dva body p, q z X mají vzdálenost 1, pokud nejsou stejným bodem a 0 jinak. V takovém metrickém prostoru je jakákoli jednoprvková množina otevřená; proto jakákoli množina, která je sjednocením jednotlivých bodů, je otevřená. Protože doplněk jakékoli množiny je uzavřený, všechny množiny v takovém metrickém prostoru jsou obojetné.

Jako méně triviální příklad uvažujme prostor Q všech racionálních čísel s obvyklou topologií a množinu A všech kladných racionálních čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 2. S použitím faktu, že nepatří do Q, můžeme docela snadno ukázat, že A je obojetnou podmnožinou Q. (A není obojetnou podmnožinou reálné osy R, protože v R není ani otevřená ani uzavřená.)

Vlastnosti
  • Topologický prostor X je souvislý právě tehdy, když jeho jediné obojetné množiny jsou prázdná množina a celé X.
  • Množina je obojetná právě tehdy, když její hranice je prázdná.[3]
  • Jakákoli obojetná množina je sjednocením (případně nekonečně mnoho) souvislých komponent.
  • Pokud všechny souvislé komponenty X jsou otevřené (například pokud X má pouze konečně mnoho komponent nebo pokud X je lokálně souvislá), pak množina je obojetná v X právě tehdy, když je sjednocením souvislých komponent.
  • Topologický prostor X je diskrétní právě tehdy, když všechny jeho podmnožiny jsou obojetné.
  • Při použití operací sjednocení a průniku tvoří obojetné podmnožiny daného topologického prostoru X Booleovu algebru. Každou Booleovu algebru lze získat podobně z vhodného topologického prostoru: viz Stoneova věta o reprezentaci Booleových algeber.

Odkazy

Poznámky
  1. BARTLE, Robert G.; SHERBERT, Donald R., 2011. Introduction to Real Analysis. 2. vyd. [s.l.]: John Wiley & Sons, Inc., 1992. Dostupné online. S. 348. (o reálných číslech a prázdné množině v R)
  2. HOCKING, John G.; YOUNG, Gail S., 1988. Topology. NY: Dover Publications, Inc., 1961. Dostupné online. S. 56. (týká se topologických prostorů)
  3. MENDELSON, Bert. Introduction to Topology. 3. vyd. [s.l.]: Dover, 1990. Dostupné online. ISBN 0-486-66352-3. S. 87. Nechť A je a podmnožina topologického prostoru. Dokážeme, že Bdry (A) = ∅ právě tehdy, když A je současně otevřená i uzavřená. (Exercise 7)

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Clopen set na anglické Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.