Stoneova věta o reprezentaci

Stoneova věta o reprezentaci Booleových algeber říká, že každá Booleova algebra je izomorfní s určitým polem množin. Věta je základem k hlubšímu chápání Booleových algeber, které se objevilo v první polovině 20. století. Větu dokázal Marshall H. Stone,[1] kterého k ní přivedlo studium spektrální teorie operátorů na Hilbertově prostoru.

Stoneovy prostory

Ke každé Booleově algebře B existuje topologický prostor, zde označovaný S(B), její Stoneův prostor. Prvky S(B) jsou ultrafiltry v B nebo ekvivalentně homomorfismy z B do dvouprvkové Booleovy algebry. Na S(B) existuje topologie generovaná (uzavřenou) bází sestávající ze všech množin tvaru

kde b je prvek B. To je topologie bodové konvergence sítě homomorfismů do dvouprvkové Booleovy algebry.

Pro každou Booleovu algebru B je S(B) kompaktní totálně nesouvislý Hausdorffův prostor; takové prostory se nazývají Stoneovy prostory (nebo profinitní prostory). Naopak v jakémkoli topologickém prostoru X tvoří kolekce jeho obojetných podmnožin (tj. současně uzavřených i otevřených podmnožin) Booleovu algebru.

Věta o reprezentaci

Jednoduchá verze Stoneovy věty o reprezentaci říká, že každá Booleova algebra B je izomorfní s algebrou obojetných podmnožin příslušného Stoneova prostor S(B). Izomorfismus zobrazuje prvek b∈B do množiny všech ultrafiltrů, které b obsahují. To je obojetná množina kvůli volbě topologie na S(B) a protože B je Booleova algebra.

Po přeformulování do jazyka teorie kategorií věta říká, že existuje dualita mezi kategorií Booleových algeber a kategorií Stoneových prostorů. Tato dualita znamená, že kromě korespondence mezi Booleovými algebrami a jejich Stoneovými prostory, každý homomorfismus z Booleovy algebry A na Booleovu algebru B přirozeným způsobem odpovídá spojité funkci z S(B) do S(A), neboli že existuje funktor, který je ekvivalencí mezi kategoriemi. Jde o jeden z prvních příkladů netriviální duality kategorií.

Věta je speciálním případem Stoneovy duality, obecnějšího rámce duality mezi topologickými prostory a uspořádanými množinami.

Důkaz vyžaduje buď axiom výběru nebo jeho zeslabený tvar. Konkrétně je věta ekvivalentní s větou o Booleovském prvoideálu považovanou za zeslabený axiom výběru říkající, že každá Booleova algebra má prvoideál.

Rozšíření klasické Stoneovy duality na kategorii Booleovských prostorů (což jsou nularozměrné lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory) a spojitá zobrazení dokázal G. D. Dimov; pro perfektní zobrazení H. P. Doctor.[2][3]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Stone's representation theorem for Boolean algebras na anglické Wikipedii.

  1. STONE, Marshall H. The Theory of Representations of Boolean Algebras. Transactions of the American Mathematical Society. 1936, roč. 40, s. 37–111. Dostupné online.
  2. DIMOV, G. D. Some generalizations of the Stone Duality Theorem. Publ. Math. Debrecen. 2012, roč. 80, s. 255–293.
  3. DOCTOR, H. P. The categories of Boolean lattices, Boolean rings and Boolean spaces. Canad. Math. Bulletin. 1964, roč. 7, s. 245–252.

Související články
  • Pole množin
  • Seznam článků o Booleových algebrách
  • Stoneův prostor
  • Stoneův funktor
  • Profinitní grupa
  • Věta o reprezentaci

Literatura
  • HALMOS, Paul; GIVANT, Steven. Logic as Algebra. Dolciani Mathematical Expositions. The Mathematical Association of America, 1998, čís. 21.
  • JOHNSTONE, Peter T. Stone Spaces. [s.l.]: Cambridge University Press, 1982. ISBN 0-521-23893-5.
  • BURRIS, Stanley N.; SANKAPPANAVAR, H. P. A Course in Universal Algebra. [s.l.]: Springer-Verlag, 1981. Dostupné online. ISBN 3-540-90578-2.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.