Neeukleidovská geometrie

Již od antiky se nejlepší světoví matematikové snažili podat důkaz, že pátý Eukleidův postulát je důsledkem prvních čtyř. Tento postulát je totiž výrazně složitější než postuláty zbylé, a to nejen svým zněním ale také významem – nepopisuje totiž žádnou fundamentální vlastnost základních geometrických objektů, ale je spíše jistým netriviálním tvrzením o nich. Výsledkem těchto neúspěšných pokusů o důkaz je celý seznam vět, které jsou ekvivalentní s pátým postulátem (tj. mohou jej nahradit). Mezi ně patří například věta „součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým“ nebo Pythagorova věta.

Pokrok přinesl důkaz sporem. Ital Girolamo Saccheri uznáním negace pátého axiomu nalezl tvrzení, které se lišilo od geometrie dosud popsané. Objevily se i další objevy, založené na negaci pátého axiomu, ale příliš odporovaly reálnému poznání světa, tak nebyly zveřejněny.

Jeden z prvních matematiků, kdo připustil myšlenku existence i jiné geometrie – odlišné od té Euklidovy, byl ruský matematik a zakladatel neeuklidovské geometrie N. I. Lobačevskij (Lobačevského neeuklidovská geometrie), podle Felixe Kleina zařazena jako hyperbolická geometrie. Patří sem i maďarský matematik János Bolyai, ten uveřejnil jedinou práci o nové geometrii a německý matematik Carl Friedrich Gauss, ten naopak nepublikoval o neeuklidovské geometrii.

V roce 1854 německý matematik Bernard Riemann ve své práci O hypotézách tvořících základy geometrie popsal druhou neeuklidovskou geometrie (podle Kleina eliptická). Eliptická geometrie vznikla později než hyperbolická. Kromě nahrazení pátého axiomu, bylo třeba pozměnit i druhý Euklidův axiom.[1]

Rovnostranný trojúhelník v eliptické, hyperbolické a Eukleidovské geometrii.

Chování rovnoběžek v eukleidovské a dvou neeukleidovských geometriích.

Hlavním rozdílem neeukleidovské a eukleidovské geometrie je povaha rovnoběžek. Eukleidův pátý postulát je ekvivalentní tvrzení, že pro každou přímku p a bod A, který neleží na p, existuje právě jedna přímka procházející bodem A, která neprotíná p. Naproti tomu v hyperbolické geometrii existuje nekonečně mnoho přímek procházejících bodem A a neprotínajících p, v eliptické geometrii se naopak jakákoliv dvojice přímek vzájemně protíná.

Další možný způsob popisu odlišností mezi těmito geometriemi je následující: uvažujme dvě přímky v dvojrozměrné rovině, které jsou kolmé k třetí přímce. V Eukleidovské geometrii mají takové přímky stejnou vzdálenost a označujeme je jako rovnoběžky. V hyperbolické geometrii jsou "zakřivené od sebe" a směrem od společné kolmice jejich vzdálenost roste. V eliptické geometrii jsou "zakřivené k sobě" až se protnou. Z tohoto důvodu neexistují v eliptické geometrii rovnoběžky. Odlišné vlastnosti přímek se společnou kolmicí v hyperbolické, eukleidovské a eliptické geometrii popisuje také Saccheriho čtyřúhelník.

• Vopěnka, P., Rozpravy s geometrií – Otevření neeukleidovských geometrických světů, Medúza, 1995

• János Bolyai

• Obrázky, zvuky či videa k tématu neeukleidovská geometrie na Wikimedia Commons