Měřitelný kardinál

Každý netriviální ${\displaystyle \kappa }$-úplný ultrafiltr ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ na ${\displaystyle \kappa }$ definuje ${\displaystyle \,\kappa ^{<}}$-aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než ${\displaystyle \kappa }$ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem ${\displaystyle \mu (X)=1}$ pro ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$ a ${\displaystyle \mu (X)=0}$ jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální ${\displaystyle \kappa }$-úplný ultrafiltr na ${\displaystyle \kappa }$. Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál ${\displaystyle \kappa }$, na němž existuje ${\displaystyle \,\kappa ^{<}}$-aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální ${\displaystyle \kappa }$-úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu ${\displaystyle \kappa }$ nazývá měřitelný ultrafiltr na ${\displaystyle \kappa }$ nebo jen míra na ${\displaystyle \kappa }$.

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je ${\displaystyle \kappa }$ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje ${\displaystyle \aleph _{1}}$-úplný ultrafiltr, pak ${\displaystyle \kappa }$ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině ${\displaystyle \,\kappa ^{\kappa }}$ všech funkcí z ${\displaystyle \kappa }$ do ${\displaystyle \kappa }$ pro měřitelný kardinál ${\displaystyle \kappa }$ takto: Nechť ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ je měřitelný ultrafiltr na ${\displaystyle \kappa }$. Pro funkce ${\displaystyle f,g\in \kappa ^{\kappa }}$ definujeme

• ${\displaystyle f<^{\mathcal {U}}g}$ právě když ${\displaystyle \{x\in \kappa ;f(x)<g(x)\}\in {\mathcal {U}}}$
• ${\displaystyle f=^{\mathcal {U}}g}$ právě když ${\displaystyle \{x\in \kappa ;f(x)=g(x)\}\in {\mathcal {U}}}$
• ${\displaystyle f\leq ^{\mathcal {U}}g}$ právě když ${\displaystyle f<^{\mathcal {U}}g}$ nebo ${\displaystyle f=^{\mathcal {U}}g}$
• ${\displaystyle \,k_{a}}$, kde ${\displaystyle a\in \kappa }$, je taková funkce, která splňuje ${\displaystyle \,k_{a}(x)=a}$ pro všechna ${\displaystyle \,x\in \kappa }$
• funkce f je první za konstantami, je-li ${\displaystyle k_{a}<^{\mathcal {U}}f}$ pro všechna ${\displaystyle a\in \kappa }$ a kdykoli ${\displaystyle g<^{\mathcal {U}}f}$, pak ${\displaystyle g=^{\mathcal {U}}k_{a}}$ pro nějaké ${\displaystyle a\in \kappa }$

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li ${\displaystyle \kappa }$ měřitelný kardinál, pak na ${\displaystyle \kappa }$ existuje měřitelný ultrafiltr ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ takový, že identita na ${\displaystyle \kappa }$ (fce ${\displaystyle \,id(x)}$, že ${\displaystyle \,id(x)=x}$ pro ${\displaystyle x\in \kappa }$) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem ${\displaystyle \kappa }$ leží právě ${\displaystyle \kappa }$ nedosažitelných kardinálů.