Rovinný graf

Oblouk je podmnožina roviny tvaru ${\displaystyle \sigma (\langle 0,1\rangle )}$, kde ${\displaystyle \sigma$ :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} je nějaké spojité a prosté (až na koncové body) zobrazení intervalu ${\displaystyle \langle 0,1\rangle }$ do roviny. Body ${\displaystyle \sigma (0)}$ a ${\displaystyle \sigma (1)}$ se nazývají koncové body oblouku.

Rovinné nakreslení je pak zobrazení ${\displaystyle b}$, které každému vrcholu ${\displaystyle v}$ přiřazuje bod roviny ${\displaystyle b(v)}$ a hraně ${\displaystyle {i,j}}$ přiřadí oblouk s koncovými body ${\displaystyle \sigma (0)=b(i)}$ a ${\displaystyle \sigma (1)=b(j)}$. Zobrazení je prosté (různým vrcholům odpovídají různé body roviny) a žádný bod ${\displaystyle b(v)}$ není nekoncovým bodem žádného oblouku. Graf spolu s takovýmto zobrazením nazveme topologický graf.

Topologický graf je rovinný, pokud libovolné dva oblouky odpovídající hranám ${\displaystyle e}$ a ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle e\neq f}$) mají společné nejvýše koncové body.

Nechť ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\setminus X}$ (kde ${\displaystyle X}$ je množina všech bodů a všech oblouků nakreslení grafu). Nazveme ji souvislou, pokud pro ${\displaystyle \forall x,y\in A}$ platí, že existuje oblouk ${\displaystyle o}$ s koncovými body ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ takový, že ${\displaystyle o\subseteq A}$. Oblouky příslušné hranám nějakého topologického grafu pak podle této relace souvislosti rozdělují rovinu na třídy ekvivalence, které se nazývají stěny grafu.

• Duální graf
• Barvení grafu