Kuratowského axiomy uzávěru

Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski,[1] a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.[2]

Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.[3]

Definice

Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení

Nechť je libovolná množina a její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace s následujícími vlastnostmi:

[K1] Zachovává prázdnou množinu: ;

[K2] je extenzivní: pro všechny , je ;
[K3] je idempotentní: pro všechny , je ;

[K4] zachovává binární sjednocení (je vůči němu distributivní): pro všechny , .

Důsledkem toho, že zachovává binární sjednocení, je[4]

[K4'] je monotonní: .

Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity):

[K4''] je subaditivní: pro všechny , ,

pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).

Kuratowski 1966 uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny , . Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T1-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T1-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).[5]

Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor.[6] Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor.[7] Dvojici nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy splňuje.

Alternativní axiomatizace

Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:[8]

[P] Pro všechny , .

Lze dokázat, že axiomy [K1][K4] vyplývají z této podmínky:

  1. Zvolme . Pak nebo . Z toho okamžitě plyne [K1].
  2. Zvolme libovolné a . Pak použitím axiomu [K1], , z čehož plyne [K2].
  3. Zvolme a libovolné . Pak použitím axiomu [K1], , což je [K3].
  4. Zvolme libovolné . Použitím axiomů [K1][K3] odvodíme [K4].

Monteiro 1945 alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2][K4]:[9]

[M] Pro všechny , .

Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud , operátor definovaný přiřazením konstanty splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože . Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.

M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2][K4]:[2]

[BT] Pro všechny , .

Analogické struktury

Operátory vnitřku, vnějšku a hranice

Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení vyhovující následujícím požadavkům:[3]

[I1] Zachovává celý prostor: ;

[I2] je intenzivní: pro všechny , ;
[I3] je idempotentní: pro všechny , ;

[I4] Zachovává binární průniky: pro všechny , .

Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.

Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na , zobrazení zobrazující . Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud je libovolná množina indexů a , pak

Použitím těchto zákonů a definičních vlastností můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace (a ). Každý výsledek získaný pomocí lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace převést na výsledek používající .

Pervin 1964 dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku[3] a Kuratowského operátory hranice,[10] který relací a zavádějí také Kuratowského uzávěry.

Abstraktní operátory

Všimněte si, že axiomy [K1][K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci na obecném omezeném svazu , formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1][I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.

Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor na libovolné uspořádané množině .

Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie

Indukce topologie z uzávěru

Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru , tj. . Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:

[T1] je omezený podsvaz , tj. ;

[T2] je uzavřená vůči libovolným průnikům, tj. pokud je libovolná množina indexů a , pak ;

[T3] je uzavřená vůči konečný sjednocení, tj. pokud je konečná množina indexů a , pak .

Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát .

Rozšířený obsah

[T1] díky extenzivitě [K2], a protože uzávěr převádí potenční množinu na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina ), máme . Tedy . Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z .

[T2] nechť dále je libovolná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Z extenzivity [K2], . Také díky izotoničnosti [K4'], pokud pro všechny indexy , pak pro všechna , z čehož plyne . Proto, , význam .

[T3] Konečně nechť je konečná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme . Tedy .

Indukce uzávěru z topologie

Opačně, je-li dána rodina vyhovující axiomům [T1][T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud a je horní množinou vůči inkluzi, pak

definuje Kuratowského operátor uzávěru na .

Rozšířený obsah

[K1] Protože , omezuje na průnik všech množin v rodině ; ale podle axiomu [T1] je , takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1].

[K2] Z definice plyne, že pro všechny , a tedy musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2].

[K3] Všimněte si, že pro všechny , rodina obsahuje samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy , což je idempotence [K3].

[K4’] Nechť : pak , a tedy . Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme , což je izotoničnost [K4']. Všimněte si, že z izotoničnost plyne a , který současně znamená .

[K4] Nakonec vezmeme určité . Z axiomu [T2] plyne ; navíc, axiom [T2] vyplývá, že . Díky extenzivitě [K2] máme a , takže . Ale , tak, že všechno ve všech . Protože je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, najdeme . Bod 4 zajišťuje aditivita [K4].

Přesná korespondence mezi strukturami

Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na , a je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1][T3], pak takový, že je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení .

Rozšířený obsah

Nejdříve dokážeme, že , operátor identity na . Pro daný Kuratowského uzávěr , definuje ; pak, pokud jeho primed uzávěr je průnik všech -stabilní množiny, které obsahuje . Jeho neprimed uzávěr vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme , a díky idempotenci [K3] máme , a tedy . Nyní nechť taková, že : z izotoničnosti [K4'] dostáváme , a protože docházíme k závěru, že . Tedy je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, z čehož plyne .

Nyní dokážeme, že . Pokud a je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči , dostáváme, pokud oba a . Nechť : tedy . Protože je průnik libovolné podrodiny , a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak . Opačně, pokud , pak je minimální nadmnožina , která je obsažena v . Ale to je triviálně samotné , z čehož plyne .

Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci na kolekci všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje ; toto rozšíření je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na indukují také topologii na .[11] To však znamená, že už není bijekcí.

Příklady

  • Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor , můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny jako množinu , tj. průnik všech uzavřených množin které obsahují . Množina je nejmenší uzavřenou množinou obsahující , a operátor je Kuratowského operátor uzávěru.
  • Pokud je jakákoli množina, operátory takové, že
    jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii , zatímco druhý zavádí diskrétní topologii .
  • Vezmeme libovolné , a nechť je takové, že pro všechny . Pak definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin se shoduje s , rodinou všech podmnožin, které obsahují . Když , znovu získáme diskrétní topologii (tj. , jak je vidět z definice).
  • Pokud je nekonečné kardinální číslo takové, že , pak operátor takový, že
    vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům.[12] Pokud , tento operátor zavádí kofinitní topologii na ; pokud , pak zavádí ko-spočetnou topologii.

Vlastnosti

  • Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci , za předpokladu, že chápeme jako množinu uspořádanou inkluzí, a jako uspořádaná podmnožina . Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny a , právě tehdy, když .
  • Pokud je podrodina , pak
  • Pokud , pak .

Topologické koncepty používající uzávěr

Zjemnění a podprostory

Dvojice Kuratowského uzávěrů takových, že pro všechny indukuje topologii takovou, že , a naopak. Jinými slovy dominuje právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně .[13] Například jasně dominuje ( druhý pouze je identity na ). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí s rodinou obsahující komplementy všech členů, pokud je na definováno částečné uspořádání pro všechny a je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.

V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: , pro všechny .[14]

Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy

Funkce je spojitá v bodě právě tehdy, když , a všude spojitá právě tehdy, když

pro všechny podmnožiny .[15] Zobrazení je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze,[16] a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.[17]

Oddělovací axiomy

Nechť je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak

  • je T0-prostor právě tehdy, když z plyne ;[18]
  • je T1-prostor právě tehdy, když pro všechny ;[19]
  • je T2-prostor právě tehdy, když z vyplývá, že existuje množina taková, že a zároveň , kde je operátor množinového doplňku.[20]

Blízkost a oddělenost

Bod je blízký k podmnožině , pokud To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.[21]

Dvě množiny jsou oddělené právě tehdy, když . Prostor je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.[22]

Odkazy

Poznámky

  1. Kuratowski 1922.
  2. Monteiro 1945, s. 160.
  3. Pervin 1964, s. 44.
  4. Pervin 1964, s. 43, Exercise 6.
  5. Kuratowski 1966, s. 38.
  6. Arkhangel'skij a Fedorchuk 1990, s. 25.
  7. Moore closure [online]. nLab, 2015-03-07 [cit. 2019-08-19]. Dostupné online.
  8. Pervin 1964, s. 42, Exercise 5.
  9. Monteiro 1945, s. 158.
  10. Pervin 1964, s. 46, Exercise 4.
  11. Arkhangel'skij a Fedorchuk 1990, s. 26.
  12. Důkaz pro případ lze nalézt v Is the following a Kuratowski closure operator?! [online]. 2015-11-21. Dostupné online.
  13. Pervin 1964, s. 43, Exercise 10.
  14. Pervin 1964, s. 49, Theorem 3.4.3.
  15. Pervin 1964, s. 60, Theorem 4.3.1.
  16. Pervin 1964, s. 66, Exercise 3.
  17. Pervin 1964, s. 67, Exercise 5.
  18. Pervin 1964, s. 69, Theorem 5.1.1.
  19. Pervin 1964, s. 70, Theorem 5.1.2.
  20. Důkaz je uveden v tomto dokumentu.
  21. Pervin 1964, s. 193–196.
  22. Pervin 1964, s. 51.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kuratowski closure axioms na anglické Wikipedii.

  • KURATOWSKI, Kazimierz. Sur l'opération A de l'Analysis Situs. [s.l.]: [s.n.] Dostupné online. S. 182–199. (francouzsky)
  • KURATOWSKI, Kazimierz, 1966. Topology. [s.l.]: Academic Press. ISBN 0-12-429201-1.
  • PERVIN, William J., 1964. Foundations of General Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 9781483225159.
  • ARKHANGEL'SKIJ, A.V.; FEDORCHUK, V.V. General Topology I. Berlin: Springer-Verlag (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). ISBN 978-3-642-64767-3.
  • MONTEIRO, António. Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome. [s.l.]: [s.n.], September 1943. Dostupné online. S. 158–160. (francouzsky)

Související články

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.