Kuratowského axiomy uzávěru
Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski,[1] a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.[2]
Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.[3]
Definice
Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení
Nechť je libovolná množina a její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace s následujícími vlastnostmi:
[K1] Zachovává prázdnou množinu: ;
[K2] je extenzivní: pro všechny , je ;
[K4] zachovává binární sjednocení (je vůči němu distributivní): pro všechny , .
[K3] je idempotentní: pro všechny , je ;
Důsledkem toho, že zachovává binární sjednocení, je[4]
[K4'] je monotonní: .
Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity):
[K4''] je subaditivní: pro všechny , ,
pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).
Kuratowski 1966 uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny , . Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T1-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T1-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).[5]
Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor.[6] Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor.[7] Dvojici nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy splňuje.
Alternativní axiomatizace
Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:[8]
[P] Pro všechny , .
Lze dokázat, že axiomy [K1]–[K4] vyplývají z této podmínky:
- Zvolme . Pak nebo . Z toho okamžitě plyne [K1].
- Zvolme libovolné a . Pak použitím axiomu [K1], , z čehož plyne [K2].
- Zvolme a libovolné . Pak použitím axiomu [K1], , což je [K3].
- Zvolme libovolné . Použitím axiomů [K1]–[K3] odvodíme [K4].
Monteiro 1945 alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]–[K4]:[9]
[M] Pro všechny , .
Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud , operátor definovaný přiřazením konstanty splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože . Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.
M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]–[K4]:[2]
[BT] Pro všechny , .
Analogické struktury
Operátory vnitřku, vnějšku a hranice
Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení vyhovující následujícím požadavkům:[3]
[I1] Zachovává celý prostor: ;
[I2] je intenzivní: pro všechny , ;
[I4] Zachovává binární průniky: pro všechny , .
[I3] je idempotentní: pro všechny , ;
Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.
Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na , zobrazení zobrazující . Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud je libovolná množina indexů a , pak
Použitím těchto zákonů a definičních vlastností můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace (a ). Každý výsledek získaný pomocí lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace převést na výsledek používající .
Pervin 1964 dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku[3] a Kuratowského operátory hranice,[10] který relací a zavádějí také Kuratowského uzávěry.
Abstraktní operátory
Všimněte si, že axiomy [K1]–[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci na obecném omezeném svazu , formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]–[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.
Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor na libovolné uspořádané množině .
Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie
Indukce topologie z uzávěru
Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru , tj. . Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:
[T1] je omezený podsvaz , tj. ;
[T2] je uzavřená vůči libovolným průnikům, tj. pokud je libovolná množina indexů a , pak ;
[T3] je uzavřená vůči konečný sjednocení, tj. pokud je konečná množina indexů a , pak .
Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát .
Rozšířený obsah |
---|
[T1] díky extenzivitě [K2], a protože uzávěr převádí potenční množinu na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina ), máme . Tedy . Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z . [T2] nechť dále je libovolná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Z extenzivity [K2], . Také díky izotoničnosti [K4'], pokud pro všechny indexy , pak pro všechna , z čehož plyne . Proto, , význam . [T3] Konečně nechť je konečná množina indexů a nechť je uzavřená pro každé . Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme . Tedy . |
Indukce uzávěru z topologie
Opačně, je-li dána rodina vyhovující axiomům [T1]–[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud a je horní množinou vůči inkluzi, pak
definuje Kuratowského operátor uzávěru na .
Rozšířený obsah |
---|
[K1] Protože , omezuje na průnik všech množin v rodině ; ale podle axiomu [T1] je , takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1]. [K2] Z definice plyne, že pro všechny , a tedy musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2]. [K3] Všimněte si, že pro všechny , rodina obsahuje samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy , což je idempotence [K3]. [K4’] Nechť : pak , a tedy . Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme , což je izotoničnost [K4']. Všimněte si, že z izotoničnost plyne a , který současně znamená . [K4] Nakonec vezmeme určité . Z axiomu [T2] plyne ; navíc, axiom [T2] vyplývá, že . Díky extenzivitě [K2] máme a , takže . Ale , tak, že všechno ve všech . Protože je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, najdeme . Bod 4 zajišťuje aditivita [K4]. |
Přesná korespondence mezi strukturami
Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na , a je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]–[T3], pak takový, že je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení .
Rozšířený obsah |
---|
Nejdříve dokážeme, že , operátor identity na . Pro daný Kuratowského uzávěr , definuje ; pak, pokud jeho primed uzávěr je průnik všech -stabilní množiny, které obsahuje . Jeho neprimed uzávěr vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme , a díky idempotenci [K3] máme , a tedy . Nyní nechť taková, že : z izotoničnosti [K4'] dostáváme , a protože docházíme k závěru, že . Tedy je minimálním prvkem vzhledem k inkluzi, z čehož plyne . Nyní dokážeme, že . Pokud a je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči , dostáváme, pokud oba a . Nechť : tedy . Protože je průnik libovolné podrodiny , a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak . Opačně, pokud , pak je minimální nadmnožina , která je obsažena v . Ale to je triviálně samotné , z čehož plyne . |
Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci na kolekci všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje ; toto rozšíření je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na indukují také topologii na .[11] To však znamená, že už není bijekcí.
Příklady
- Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor , můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny jako množinu , tj. průnik všech uzavřených množin které obsahují . Množina je nejmenší uzavřenou množinou obsahující , a operátor je Kuratowského operátor uzávěru.
- Pokud je jakákoli množina, operátory takové, že jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii , zatímco druhý zavádí diskrétní topologii .
- Vezmeme libovolné , a nechť je takové, že pro všechny . Pak definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin se shoduje s , rodinou všech podmnožin, které obsahují . Když , znovu získáme diskrétní topologii (tj. , jak je vidět z definice).
- Pokud je nekonečné kardinální číslo takové, že , pak operátor takový, ževyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům.[12] Pokud , tento operátor zavádí kofinitní topologii na ; pokud , pak zavádí ko-spočetnou topologii.
Vlastnosti
- Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci , za předpokladu, že chápeme jako množinu uspořádanou inkluzí, a jako uspořádaná podmnožina . Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny a , právě tehdy, když .
- Pokud je podrodina , pak
- Pokud , pak .
Topologické koncepty používající uzávěr
Zjemnění a podprostory
Dvojice Kuratowského uzávěrů takových, že pro všechny indukuje topologii takovou, že , a naopak. Jinými slovy dominuje právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně .[13] Například jasně dominuje ( druhý pouze je identity na ). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí s rodinou obsahující komplementy všech členů, pokud je na definováno částečné uspořádání pro všechny a je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.
V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: , pro všechny .[14]
Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy
Funkce je spojitá v bodě právě tehdy, když , a všude spojitá právě tehdy, když
pro všechny podmnožiny .[15] Zobrazení je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze,[16] a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.[17]
Oddělovací axiomy
Nechť je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak
- je T0-prostor právě tehdy, když z plyne ;[18]
- je T1-prostor právě tehdy, když pro všechny ;[19]
- je T2-prostor právě tehdy, když z vyplývá, že existuje množina taková, že a zároveň , kde je operátor množinového doplňku.[20]
Odkazy
Poznámky
- Kuratowski 1922.
- Monteiro 1945, s. 160.
- Pervin 1964, s. 44.
- Pervin 1964, s. 43, Exercise 6.
- Kuratowski 1966, s. 38.
- Arkhangel'skij a Fedorchuk 1990, s. 25.
- Moore closure [online]. nLab, 2015-03-07 [cit. 2019-08-19]. Dostupné online.
- Pervin 1964, s. 42, Exercise 5.
- Monteiro 1945, s. 158.
- Pervin 1964, s. 46, Exercise 4.
- Arkhangel'skij a Fedorchuk 1990, s. 26.
- Důkaz pro případ lze nalézt v Is the following a Kuratowski closure operator?! [online]. 2015-11-21. Dostupné online.
- Pervin 1964, s. 43, Exercise 10.
- Pervin 1964, s. 49, Theorem 3.4.3.
- Pervin 1964, s. 60, Theorem 4.3.1.
- Pervin 1964, s. 66, Exercise 3.
- Pervin 1964, s. 67, Exercise 5.
- Pervin 1964, s. 69, Theorem 5.1.1.
- Pervin 1964, s. 70, Theorem 5.1.2.
- Důkaz je uveden v tomto dokumentu.
- Pervin 1964, s. 193–196.
- Pervin 1964, s. 51.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kuratowski closure axioms na anglické Wikipedii.
- KURATOWSKI, Kazimierz. Sur l'opération A de l'Analysis Situs. [s.l.]: [s.n.] Dostupné online. S. 182–199. (francouzsky)
- KURATOWSKI, Kazimierz, 1966. Topology. [s.l.]: Academic Press. ISBN 0-12-429201-1.
- PERVIN, William J., 1964. Foundations of General Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 9781483225159.
- ARKHANGEL'SKIJ, A.V.; FEDORCHUK, V.V. General Topology I. Berlin: Springer-Verlag (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). ISBN 978-3-642-64767-3.
- MONTEIRO, António. Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome. [s.l.]: [s.n.], September 1943. Dostupné online. S. 158–160. (francouzsky)