Galoisova korespondence

Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).

Definice

Ať X a Y jsou množiny. Ať ${\mathcal {A}}:{\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ a ${\mathcal {B}}:{\mathcal {P}}(Y)\longrightarrow {\mathcal {P}}(X)$ . Pak $({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li:

$A_{1}\subseteq A_{2}\in {\mathcal {P}}(X)\Rightarrow {\mathcal {A}}(A_{1})\supseteq {\mathcal {A}}(A_{2}),$
$B_{1}\subseteq B_{2}\in {\mathcal {P}}(X)\Rightarrow {\mathcal {B}}(B_{1})\supseteq {\mathcal {B}}(B_{2}),$
${\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)\supseteq A$ pro $\forall A\in X,$
${\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)\supseteq B$ pro $\forall B\in Y.$

Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:

Buď $\phi \subseteq X\times Y$ . Definujeme zobrazení ${\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ takto:

$A\longmapsto A^{\rightarrow }=\lbrace b\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall a\in A\rbrace$
$B\longmapsto B^{\leftarrow }=\lbrace a\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall b\in B\rbrace$ .

Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondence v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.

Vlastnosti

Je-li $({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí:

${\mathcal {A}}{\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)={\mathcal {A}}(A)$ pro $\forall A\in X,$ a symetricky ${\mathcal {B}}{\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)={\mathcal {B}}(B)$ pro $\forall B\in Y.$
Složená zobrazení ${\mathcal {B}}{\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {A}}{\mathcal {B}}$ jsou uzávěrovými operatory na X a Y.
Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce ${\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {B}}$ množin ${\mathcal {X}}=\lbrace {\mathcal {A}}(A)|A\in X\rbrace$ a ${\mathcal {Y}}=\lbrace {\mathcal {B}}(B)|B\in Y\rbrace$ .

Příklady

Algebraická geometrie

Korespondence $(\mathbb {I} ,\mathbb {V} )$ mezi algebraickými množinami, t.j. podmnožinami $\mathbb {A} ^{n}=K\times K\times ...\times K,$ kde $K$ je těleso, a ideály okruhu polynomů $K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ , taková, že

\mathbb {I} (X)=\lbrace p\in K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]|p(a)=0,\forall a\in X\rbrace ,

\mathbb {V} (S)=\lbrace a\in \mathbb {A} ^{n}|p(a)=0,\forall p\in S\rbrace ,

.

S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.

Univerzální algebra

V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:

Nechť $Alg$ je množina všech $\Sigma$ -algeber, $Eq$ je množina všech $\Sigma$ -identit, $\phi \subseteq Alg\times Eq$ je relace taková, že $({\underline {A}},s\approx t)\leftrightarrow {\underline {A}}\models s\approx t$ . Pak dvojice zobrazení ${\mathcal {K}}\mapsto Id({\mathcal {K}})$ a ${\mathcal {E}}\mapsto Mod({\mathcal {E}})$ , kde ${\mathcal {K}}\in Alg$ a ${\mathcal {E}}\in Eq$ , je Galoisovou korespondencí indukovanou relací $\phi$ .

Máme-li nějakou množinu $A$ , označíme $Op(A)$ množinu všech operací na $A$ , $Rel(A)$ množinu všech relací na $A$ a nechť je $\phi \subseteq Op\times Rel$ kompatibilita, t.j. $(f,R)\Leftrightarrow$ $f$ je kompatibilní s $R$ . Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny $F\in Op(A)$ nazýváme invariantem F a značíme $Inv(F)$ , obraz $\Theta \in Rel(A)$ nazýváme polymorfismy $\Theta$ a značíme $Pol(\Theta )$ .

Literatura

Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics, CRC press, 2012.
Fulton W.: Algebraic Curves, Addison-Wesley, 1989.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.