Kostra grafu
V teorii grafů je kostra souvislého grafu G takový podgraf souvislého grafu G na množině všech jeho vrcholů, který je stromem.
Příklady
- Kružnice na n vrcholech (graf ) má právě n různých koster.
- Libovolný strom má jedinou kostru – sám sebe.
- Úplný graf na n vrcholech má právě různých koster (tzv. Cayleyho vzorec).
Algoritmy pro hledání kostry
Libovolná kostra
Následující základní algoritmus je schopen nalézt nějakou (blíže neurčenou) kostru:
- Nechť je graf s n vrcholy a m hranami; seřaďme hrany G libovolně do posloupnosti ; položme .
- Byla-li již nalezena množina , spočítáme množinu takto:
- ∪ {}, neobsahuje-li graf (V, ∪ ) kružnici,
- jinak.
- Algoritmus se zastaví, jestliže buď již obsahuje n − 1 hran nebo i = m, tedy se probraly všechny hrany z G. Graf pak představuje kostru grafu G.
Minimální kostra
Je-li navíc definována funkce (tzv. ohodnocení hran), má smysl hledat minimální kostru – tedy takovou kostru , že výraz
nabývá minimální hodnoty.
Tuto úlohu řeší několik algoritmů, které jsou označovány jako hladové, neboť jednou provedená rozhodnutí už nikdy nemění, čili „hladově“ postupují přímo k řešení.
Předpokládejme, že je dán souvislý graf G = (V, E) s ohodnocením w:
Kruskalův algoritmus
Předpokládejme navíc, že hrany jsou uspořádány tak, že platí .
Pro toto uspořádání provedeme algoritmus pro hledání libovolné kostry (viz výše).
Borůvkův algoritmus
Předpokládejme, že ohodnocení hran v grafu je prosté. Algoritmus pracuje ve fázích tak, že postupně spojuje komponenty souvislosti (na počátku je každý vrchol komponentou souvislosti) do větších a větších celků, až zůstane jen jediný, a to je hledaná minimální kostra. V každé fázi vybere pro každou komponentu souvislosti hranu s co nejnižší cenou, která směřuje do jiné komponenty souvislosti a tu přidá do kostry.
Jarníkův algoritmus
- Nechť a . Položme , kde v je libovolný vrchol G.
- Nalezneme hranu nejmenší možné váhy z množiny hran takových, že .
- Položíme a .
- Pokud žádná taková hrana neexistuje, algoritmus končí a , jinak pokračuj krokem 2.
Nejrychlejší známý deterministický algoritmus pro hledání minimální kostry grafu vytvořil Bernard Chazelle modifikací Borůvkova algoritmu. Asymptotická časová složitost tohoto algoritmu je O(E α(V)), kde α je inverzní Ackermannova funkce.
Reference
- Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, nakladatelství Karolinum, Praha 2002, ISBN 80-246-0084-6
- Jakub Černý: Základní grafové algoritmy (texty v pdf)
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Kostra grafu na Wikimedia Commons
- Kruskalův algoritmus- animace a příklady, bakalářská práce z MFF UK
- Maximální kostra grafu – využití algoritmu pro zjištění maximální kostry grafu pro link building