Borůvkův algoritmus
Borůvkův algoritmus je algoritmus pro nalezení minimální kostry v grafu, jehož hrany mají různé (prosté) a kladné ohodnocení.
Historie
Poprvé byl publikován roku 1926 Otakarem Borůvkou jako metoda pro konstrukci efektivní elektrické sítě na Moravě.[1][2] Algoritmus byl znovuobjeven Gustavem Choquetem roku 1938,[3] poté znovu Florekem, Łukasiewiczem, Perkalem, Steinhausem a Zubrzyckim roku 1951 a ještě jednou v 60. letech Sollinem. Jelikož Sollin byl z předcházejícího výčtu jediným vědcem ze západu, algoritmus je často označován jako Sollinův algoritmus, především v literatuře týkající se paralelního zpracování dat.
Algoritmus
Algoritmus pracuje tak, že postupně spojuje komponenty souvislosti (na počátku je každý vrchol komponentou souvislosti) do větších a větších celků, až zůstane jen jediný, a to je hledaná minimální kostra. V každé fázi vybere pro každou komponentu souvislosti hranu s co nejnižší cenou, která směřuje do jiné komponenty souvislosti a tu přidá do kostry. V každé fázi se počet komponent souvislosti sníží nejméně dvakrát, počet fází bude tedy maximálně , kde N je počet vrcholů grafu.
Implementace v pseudokódu
algoritmus Borůvka: vstup: Graf G jehož hrany mají různé ohodnocení. výstup: Strom F je minimální kostra grafu G. Inicializuj les F jako množinu stromů s jedním vrcholem pro každý vrchol v grafu. dokud má F více než jednu komponentu: Najdi komponenty souvislosti v F a označ každý vrchol G jeho komponentou Inicializuj nejlevnější hranu pro každou komponentu na speciální hranu s cenou ∞ pro každou hranu uv v G: pokud mají u a v různé označení komponenty: pokud je uv levnější než nejlevnější hrana pro komponentu u: Nastav uv jako nejlevnější hranu pro komponentu u pokud uv je levnější než nejlevnější hrana pro komponentu v: Nastav uv jako nejlevnější hranu pro komponentu v pro každou komponentu: Přidej její nejlevnější hranu do F
Je možné ukázat, že asymptotická časová složitost Borůvkova algoritmu je O(M log N), kde N je počet vrcholů a M počet hran grafu.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Borůvka's algorithm na anglické Wikipedii.
- BORŮVKA, Otakar. O jistém problému minimálním. [s.l.]: Práce mor. přírodověd. spol. v Brně III (česky, shrnutí v němčině)
- BORŮVKA, Otakar. Příspěvek k řešení otázky ekonomické stavby elektrovodních sítí. [s.l.]: Elektronický Obzor, 1926.
- CHOQUET, Gustave. Étude de certains réseaux de routes. [s.l.]: [s.n.], 1938. (francouzsky)
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Borůvkův algoritmus na Wikimedia Commons