Kruskalův algoritmus

Algoritmus byl poprvé publikován Josephem B. Kruskalem, zaměstnancem Bellových Laboratoří, v roce 1956. Kruskal v úvodu své práce[1] odkazuje na článek[2] Otakara Borůvky, který pojednává o existenci jediné minimální kostry pro graf s hranami ohodnocenými různými nezápornými čísly.

Kruskal svůj algoritmus popsal následujícím způsobem[1]:

Postup A:

• Opakuj následující kroky, dokud je to možné:
• Z hran grafu ${\displaystyle G}$, které dosud nebyly vybrány, vyber nejkratší hranu, která nevytváří žádnou kružnici s hranami již vybranými.
• Množina vybraných hran je kostrou grafu ${\displaystyle G}$, která je navíc minimální

V roce 1957 tento algoritmus popsali Loberman a Weinberger, těsně před zveřejněním se autoři o Kruskalově práci dověděli, kvůli detailnějšímu popisu problému a obecnější formulaci však svou práci publikovali.[3]

Ve své práci Kruskal zmiňuje variaci postupu A, ve kterém se opakovaně odebírá nejdelší hrana z grafu, která ještě nezpůsobí rozpad grafu na více podgrafů. Tímto ekvivalentním postupem můžeme také vytvořit minimální kostru grafu.

Postup A':

• Opakuj následující kroky, dokud je to možné:
• Z hran ${\displaystyle G}$, které dosud nebyly vybrány, vyber nejdelší, která je nerozpojí.
• Množina nevybraných hran je minimální kostrou grafu ${\displaystyle G}$.

Tento alternativní postup byl v roce 1961 nezávisle popsán A. Kotzigem.[4]

Postup B:

Jako obecnější postup pro podmnožinu uzlů grafu formuloval Kruskal postup B:

• Nechť V je libovolná pevná (neprázdná) podmnožina uzlů grafu ${\displaystyle G}$, potom opakuj následující kroky, dokud je to možné:
• Z hran grafu ${\displaystyle G}$, které dosud nebyly vybrány, ale jsou spojeny s uzlem z ${\displaystyle V}$ nebo s hranou grafu, která již byla vybrána, vyber nejkratší hranu, která nevytváří kružnice s hranami již vybranými.
• Množina vybraných hran je kostrou grafu ${\displaystyle G}$, která je navíc minimální. V případě, že ${\displaystyle V}$ je množina všech vrcholů grafu ${\displaystyle G}$, stává se z obecnějšího postupu B postup A.

Kruskal se ve své práci také zamýšlí nad existencí „duálního“ postupu k B, stejně jako je tomu v případě postupů A a A'. Požadovanou formulaci přináší Rosenstiehl v roce 1967.[5]

První, kdo formuloval postup B byl Vojtěch Jarník v roku 1930[6], obvykle je přisuzován Robertu Primovi, který formuloval obecně kategorii těchto algoritmů[7], z výpočtového hlediska, ale preferoval (stejně jako později Edsger Dijkstra[8]) použití postupu B.

Kruskalův původní důkaz předpokládá různé ohodnocení hran grafu.

Ekvivalentně můžeme algoritmus popsat tak, že se vždy vybírá taková hrana, která má ze všech možných hran spojujících dva různé podstromy ve vytvářené kostře tu nejmenší váhu.

• vytvoř les ${\displaystyle F}$ (množinu stromů), ve kterém je každý uzel grafu samostatným podstromem
• vytvoř množinu ${\displaystyle S}$ obsahující všechny hrany grafu
• dokud je množina ${\displaystyle S}$ neprázdná
  • z množiny ${\displaystyle S}$ odeber hranu s minimální váhou
  • pokud tato hrana spojuje dva různé podstromy, přidej ji do lesa ${\displaystyle F}$, tak že tyto podstromy sluč do jednoho
  • v jiném případě hranu zahoď

Po skončení běhu algoritmu obsahuje les jedinou komponentu, tvořící minimální kostru grafu.

Časová složitost závisí na způsobu implementace řazení a operací s množinovým rozkladem. Pro graf ${\displaystyle G}$ s počtem uzlů ${\displaystyle U}$ a hran ${\displaystyle H}$ je složitost algoritmu ${\displaystyle O(U\log U)}$, což je asymptoticky ekvivalentní s ${\displaystyle O(H\log U)}$. Hrany seřadíme některým z řadících algoritmů podle vah v čase ${\displaystyle O(H\log H)}$, to umožní algoritmu odstranit hranu s minimální vahou v konstantním čase. Pro zaznamenání informací příslušnosti uzlů k jednotlivým komponentám využijeme datovou strukturu disjoint-set (viz Disjoint-set data structure). V této datové struktuře můžeme pro vyhledávání a spojování (sjednocení) využít union-find, které mají složitost ${\displaystyle O(U)}$. Algoritmus udělá pro každou hranu dvě operace vyhledávání a jednu operaci sjednocení. I jednodušší datové struktury umožňují dosáhnout celkovou složitost ${\displaystyle O(H\log H)=O(H\log U)}$. Pokud jsou hrany již seřazeny, nebo je dokážeme seřadit v lineárním čase, může pomocí sofistikovanějších datových struktur dosáhnout složitost ${\displaystyle O(H\alpha (U))}$, kde ${\displaystyle \alpha }$ je inverzní Ackermannova funkce.

Bez újmy na obecnosti můžeme graf považovat za úplný. Pokud by byl graf neúplný, jednoduše nahradíme hrany, které jsou jeho doplňkem do úplného grafu, za hrany s neporovnatelně větším ohodnocením.

Důkaz se skládá ze dvou částí. První dokazuje, že algoritmus na výstupu skutečně vytvoří kostru. Druhá část důkazu je potvrzením, že kostra je skutečně minimální.

1 Kruskal(G,w)[9]
2 A := ∅ Vybraná kostra zatím prázdná,
3     for každý uzel u ∈ U //pro každý uzel se vytvoří samostatný podstrom
4         do MAKE-SET(u) 
5   uspořádej H do neklesající posloupnosti podle váhy w
6   for každou hranu [u, v] ∈ H v pořadí neklesajících vah
7     do if FIND-SET(u) != FIND-SET(v) //Hrana [u, v] je vhodná, přidej ji do kostry a spoj odpovídající podstromy
8         then A := A ∪ {[u, v]} 
9             UNION(u, v)
10  return A