Jarníkův algoritmus

Algoritmus začíná s jedním vrcholem a postupně přidává další a tím zvětšuje velikost stromu do té doby, než obsahuje všechny vrcholy.

• Vstup: souvislý ohodnocený graf ${\displaystyle G(V,E)}$
• Inicializace: ${\displaystyle V'=\{x\}}$, kde ${\displaystyle x}$ je libovolný vrchol z ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle E'=\{\}}$
• Opakuj dokud není ${\displaystyle V'=V}$:
  • Vyber hranu ${\displaystyle (u,v)}$ z ${\displaystyle E}$ s minimální cenou tak, že ${\displaystyle u}$ je ve ${\displaystyle V'}$ a ${\displaystyle v}$ není ve ${\displaystyle V'}$
  • Přidej ${\displaystyle v}$ do ${\displaystyle V'}$, přidej ${\displaystyle (u,v)}$ do ${\displaystyle E'}$
• Výstup: ${\displaystyle G(V',E')}$ je minimální kostra grafu

Jednoduchá implementace s použitím reprezentace grafu pomocí matice sousednosti a prohledáváním pole cen má časovou složitost O(V²). S použitím binární haldy a seznamu sousedů dosáhneme složitosti O(E log V), kde E je počet hran a V je počet vrcholů. S použitím sofistikované Fibonacciho haldy složitost snížíme až na O(E + V log V), což je obzvláště rychlé u grafů, kde E je ${\displaystyle \Omega (VlogV)}$.

Nechť ${\displaystyle P}$ je souvislý, ohodnocený graf. S každou iterací Jarníkova algoritmu je přidána hrana, která spojuje vrchol v podgrafu s vrcholem mimo podgraf. Jelikož je ${\displaystyle P}$ souvislý, musí existovat cesta mezi všemi dvojicemi vrcholů. Nechť výstup Jarníkova algoritmu je ${\displaystyle Y}$ a ${\displaystyle Y_{1}}$ je minimální kostra grafu ${\displaystyle P}$. Jestliže ${\displaystyle Y_{1}=Y}$, pak ${\displaystyle Y}$ je minimální kostra grafu. V opačném případě, nechť ${\displaystyle e}$ je první hrana přidaná během konstrukce ${\displaystyle Y}$, která není v ${\displaystyle Y_{1}}$ a ${\displaystyle V}$ je množina vrcholů spojených hranami přidanými před ${\displaystyle e}$. Pak jeden konec hrany ${\displaystyle e}$ je v ${\displaystyle V}$ a druhý není. Jelikož ${\displaystyle Y_{1}}$ je kostra grafu ${\displaystyle P}$, pak musí existovat cesta v ${\displaystyle Y_{1}}$ spojující oba konce hrany. Někde v této cestě se musí objevit hrana ${\displaystyle f}$ spojující vrchol ve ${\displaystyle V}$ s vrcholem, který není ve ${\displaystyle V}$. Ve chvíli, kdy je ${\displaystyle e}$ přidána k ${\displaystyle Y}$ by mohla být místo ní přidána také ${\displaystyle f}$, pokud by ovšem vážila méně. Jelikož ale byla přidána ${\displaystyle e}$, můžeme soudit, že

${\displaystyle w(f)\geq w(e)}$

Nechť ${\displaystyle Y_{2}}$ je graf získaný odstraněním ${\displaystyle f}$ a přidáním ${\displaystyle e}$ z ${\displaystyle Y_{1}}$. Je snadné ukázat, že ${\displaystyle Y_{2}}$ je souvislý, má stejný počet hran jako ${\displaystyle Y_{1}}$ a celková váha hran není vyšší než u ${\displaystyle Y_{1}}$. ${\displaystyle Y_{2}}$ je tudíž minimální kostra grafu ${\displaystyle P}$ a obsahuje ${\displaystyle e}$ a všechny hrany přidané předtím při konstrukci ${\displaystyle V}$. Opakováním těchto kroků nakonec zjistíme, že minimální kostra grafu ${\displaystyle P}$ je identická s ${\displaystyle Y}$. Tímto jsme tedy dokázali, že ${\displaystyle Y}$ je minimální kostra grafu.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prim's algorithm na anglické Wikipedii.

• V. Jarník: O jistém problému minimálním, Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6, 1930, pp. 57-63.
• R. C. Prim: Shortest connection networks and some generalisations. In: Bell System Technical Journal, 36 (1957), pp. 1389–1401 (anglicky)
• D. Cherition and R. E. Tarjan: Finding minimum spanning trees. In: SIAM Journal of Computing, 5 (Dec. 1976), pp. 724–741 (anglicky)
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp.567–574. (anglicky)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Jarníkův algoritmus na Wikimedia Commons
• Problém minimální kostry grafu: Jarníkův algoritmus
• Animovaný příklad Jarníkova algoritmu
• Jarníkův algoritmus (Java Applet)