Klíčování fázovým posuvem

Obecná forma pro BPSK lze popsat rovnicí:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi (1-n)),n=0,1.}$

Používá dvě fáze, 0 a π. V konkrétním formě, jsou binární data často vyjadřována následujícími signály:

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$ pro binární „0“

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$ pro binární „1“

kde ${\displaystyle f_{c}}$ je frekvence nosné vlny.

Odtud prostor signálů zastupuje jednoho bázových funkcí

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$,

kde jednička je reprezentována ${\displaystyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$ a nula je reprezentována ${\displaystyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$. Toto přiřazení je, samozřejmě, libovolný.

Toto použití těchto bázových funkcí je uvedeno na konci další části v diagramu časování signálu. Signál nahoře je kosinová vlna s BPSK modulací vytvářenou BPSK modulátorem. Proud bitů, který způsobuje tento výstup, je uveden nad signálem (ostatní části tohoto obrázku se týkají pouze QPSK).

Bitovou chybovost (anglicky Bit Error Rate, BER) BPSK při rušení AWGN lze vypočítat jako:[5]

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$ nebo ${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Vzhledem k tomu, že je pouze jeden bit na symbol, je to zároveň i symbolová chybovost.

Popis QPSK lze získat malým rozšířením popisu BPSK a lze z něj odvodit i jak fungují PSK vyšších řádů. Vyjádření symbolů v konstelačním diagramu pomocí sinové a kosinové vlny používané při vysílání je:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}$

Což dává čtyři potřebné fázové posuvy: π/4, 3π/4, 5π/4 a 7π/4.

Výsledkem je dvojrozměrný signálový prostor s jednotkovými bázovými funkcemi

${\displaystyle \phi _{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$

${\displaystyle \phi _{2}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin(2\pi f_{c}t)}$

První bázová funkce reprezentuje soufázovou složku signálu, druhá kvadraturní složku.

Signálová konstelace tvoří signálový prostor se 4 body

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {E_{s}/2}},\pm {\sqrt {E_{s}/2}}\right).}$

Faktory 1/2 ukazují, že celkový výkon je rovnoměrně rozdělen mezi obě nosné.

Porovnání těchto bázových funkcí s funkcí pro BPSK jasně ukazuje, že QPSK lze považovat za dva nezávislé BPSK signály. Všimněte si, že signálový prostor bodů pro BPSK nemusí rozdělit symbolovou (bitovou) energii mezi dvě nosné v systému uvedeném ve schématu BPSK konstelací.

QPSK modulátory a demodulátory mohou být realizovány mnoha způsoby. Ilustrační bloková schémata vysílače a přijímače jsou uvedena níže.

Struktura přijímače pro QPSK. Filtry lze nahradit korelátory. Každý detektor používá referenční práh pro určení, zda se jedná o 1 nebo 0.

Přestože QPSK je čtyřstavová modulace, můžeme ji považovat za dvě nezávisle modulované kvadraturní nosné. Při této interpretaci sudé bity modulují soufázovou složku nosné vlny, liché bity kvadraturní složku, v obou případech modulací BPSK. Obě nosné mohou být demodulovány nezávisle na sobě.

V důsledku toho je pravděpodobnost bitové chyby u QPSK stejná jako u BPSK:

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right).}$

Aby se však dosáhlo stejné pravděpodobnosti bitových chyb jako u BPSK, musí QPSK používat dvojnásobný výkon (protože jsou přenášeny dva bity současně).

Symbolová chybovost je dána vztahem:

${\displaystyle \,\!P_{s}}$	${\displaystyle =1-\left(1-P_{b}\right)^{2}}$
	${\displaystyle =2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}}$.

Pro velký odstup signálu od šum (což je pro praktické systémy QPSK nezbytné), platí pro pravděpodobnost symbolové chyby přibližný vztah:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)}$

Na obrázku níže je znázorněn modulovaný signál pro krátký úsek náhodného binárního datového proudu. Nahoře a uprostřed jsou dvě nosné vlny (kosinusová a sinusová), jak je uvedeno výše. Liché bity jsou reprezentovány soufázovou složkou, sudé kvadraturní složkou (přičemž první bit má číslo 1). Výsledný signál – součet obou složek – je znázorněn dole. Skoky ve fázi jsou změny fáze obou složek PSK na začátku každého bitového intervalu. Průběh úplně nahoře odpovídá popisu uvedenému výše u BPSK.

Časový diagram QPSK. Binární datový tok je zobrazen pod časovou osou. Tyto dvě signálové složky s jejich bitovými reprezentacemi jsou zobrazeny nahoře a uprostřed, a výsledný kombinovaný signál dole. Všimněte si náhlých změn fáze na hranicích bitů.

Binární data, která jsou přenášena touto křivkou jsou: 1 1 0 0 0 1 1 0.

• Tučně liché bity modulují soufázovou složku: 1 1 0 0 0 1 1 0
• Tučně sudé bity modulují kvadraturní složku: 1 1 0 0 0 1 1 0

Signál neprochází nulou, protože se vždy mění jen jeden bit symbolu

Offsetové kvadraturní klíčování fázovým posuvem (anglicky Offset quadrature phase-shift keying, OQPSK) je varianta klíčování fázovým posuvem se 4 různými fázovými posuvy. Někdy se používá název Odstupňované kvadraturní klíčování fázovým posuvem (anglicky Staggered quadrature phase-shift keying, SQPSK).

Rozdíl fáze mezi QPSK a OQPSK

Vezmeme čtyři hodnoty z fáze (dva bity) v době, k postavení symbolu QPSK může dovolit fáze signálu na skok až o 180° a v čase. Je-li signál filtrován dolní propustí (jak je obvyklé ve vysílači), tyto fázové posuvy způsobují velké výkyvy amplitudy, což je vlastnost v komunikačních systémech nežádoucí. Vzájemným posunutím lichých a sudých bitů o časový interval odpovídající polovině symbolu (to jest o trvání jednoho bitu) se soufázová a kvadraturní složka nikdy nemění současně. Z konstelačního diagramu vpravo je vidět, že tím se fázový posuv v každém okamžiku omezí na nejvýše 90°. To vede k mnohem nižšímu kolísání amplitudy než neofsetový QPSK a je někdy v praxi preferován.

Obrázek vpravo ukazuje rozdíly v chování fáze mezi běžnou QPSK a OQPSK. Je vidět, že v prvním grafu se fáze může měnit skokem o 180°, zatímco v OQPSK nejsou změny nikdy větší než 90°.

Na obrázku níže je znázorněn modulovaný signál pro krátký úsek náhodného binárního datového proudu. Všimněte si polovina doby trvání symbolu vzájemně kompenzují mezi dvou složek vln. Ke změnám fáze dochází přibližně dvakrát častěji než u QPSK (protože se signály nemění současně), ale nejsou tak velké. Jinými slovy velikost skoků je u OQPSK menší než u QPSK.

Časový diagram offsetové QPSK. Binární datový tok je zobrazen pod časovou osou. Dvě signálové složky se svými bitovými reprezentacemi jsou zobrazeny nahoře a výsledný kombinovaný signál dole. Všimněte si poloviční doby posunutí mezi oběma signálovými komponenty.

Dvojitý konstelační diagram pro π/4-QPSK. Ukazuje dva samostatné konstelační diagramy s identickým Grayovým kódováním navzájem pootočené o 45°.

Tato varianta QPSK používá dvě identické konstelace, které jsou vůči sobě pootočené o 45° (${\displaystyle \pi /4}$ radiánů, odtud název). Obvykle jsou buď sudé nebo liché symboly používané pro výběr bodů z jedné konstelace a další symboly pro výběr bodů z druhé konstelace. Tím se zmenší maximální posuvy fáze ze 180° na 135°, což zmenší i fluktuace amplitudy, která u ${\displaystyle \pi /4}$-QPSK jsou mezi OQPSK a neofsetovým QPSK.

Jednou z vlastností tohoto modulačního schématu je, že v případě, kdy modulovaný signál je reprezentován v komplexním oboru, žádné změny neprochází počátkem souřadného systému, tedy ani signál neprochází počátkem. To snižuje dynamický rozsah kolísání signálu, což je v praxi žádoucí.

Přitom demodulace ${\displaystyle \pi /4}$-QPSK je poměrně snadná, díky čemuž se tato metoda modulace používá například v systému mobilních telefonů TDMA.

Modulovaný signál je uvedený níže pro krátký úsek náhodného binárního datového proudu. Konstrukce je stejná jako u výše uvedené obyčejné QPSK. Postupné symboly jsou převzaty z těchto dvou konstelací uvedených níže v nákresu. Tím je první symbol (1 1) převzaty z „modré“ konstelace a druhý symbol (0 0) je převzat ze „zelené“ konstelace. Všimněte si, že magnitudy obou složek vln se mění, zatímco se přepíná mezi konstelacemi, ale velikost výsledného signálu zůstává konstantní (konstantní obálka). Každý posuv fáze je mezi dvěma uvedenými diagramy časování.

Časový diagram π/4-QPSK. Binární datový tok je zobrazen pod časovou osou. Tyto dvě signálové složky s jejich bitovými reprezentacemi jsou zobrazeny nahoře a výsledný kombinovaný signál dole. Všimněte si, že po sobě jdoucí symboly se berou střídavě z jednoho a druhého systému, počínaje „modrým“.

Nepatentovaný tvarovaný offset QPSK (SOQPSK) je interoperabilní s patentovaným Feherovým QPSK (FQPSK), v tom smyslu, že ofsetový QPSK detektor integrate-and-dump produkuje stejný výstup bez ohledu na to, jaký druh vysílače se používá.[6]

U těchto modulací se křivky I a Q opatrně formují tak, že se mění velmi hladce, a signál má konstantní amplitudu i během signálových přechodů. Místo okamžitých změn z jednoho symbolu na druhý, se mění plynule po kruhu konstantní amplitudy z jednoho symbolu na druhý.

Standardní popis SOQPSK-TG obsahuje třísložkové symboly.

Kvadraturní klíčování fázovým posuvem s dvojí polarizací (anglicky Dual-polarization quadrature phase shift keying, DPQPSK, nebo dual-polarization QPSK) používá přepínání polarizace dvou různých QPSK signálů, čímž se dvojnásobně zlepší spektrální účinnost. Používání 16-PSK místo QPSK je cenově efektivní alternativou pro zdvojnásobení spektrální účinnosti.

Diferenciální klíčování fázovým posuvem (DPSK) je rozšířená metoda fázové modulace, která data kóduje změnami fáze nosné vlny. Jak již bylo zmíněno, u BPSK a QPSK existují nejednoznačnosti fáze, pokud je konstelace pootočena určitým vlivem na komunikační kanál, kterým prochází signál. Tento problém lze vyřešit tak, že datům neodpovídá určitá fáze, ale data způsobují určitou změnu fáze.

Například diferenciálně kódovaná binární '1' v BPSK může být přenášena změnou fáze o 180° a binární '0' nulovou změnou fáze. Další variantou DPSK je symetrické diferenciální klíčování fázovým posuvem (anglicky Symmetric Differential Quadrature Phase Shift Keying, SDPSK), kde '1' je kódována změnou fáze o 90° a '0' změnou fáze o -90°.

V diferenciálně kódovaném QPSK (DQPSK) se používají posuvy o 0°, 90°, 180°, -90°, které odpovídají hodnotám '00 ', '01', '11 ', '10'. Tento druh kódování může být demodulován stejným způsobem jako v případě nediferenciální PSK, ale fázovou nejednoznačnost lze ignorovat. Takto každý přijatý symbol je demodulován na jeden z ${\displaystyle M}$ bodů v konstelaci a komparátor pak počítá fázový rozdíl mezi právě přijímaným a předchozím signálem. Rozdíl kóduje data jak je popsáno výše. Symetrické diferenciální kvadraturní klíčování fázovým posuvem (SDQPSK) se podobá DQPSK, ale kódování je symetrické a používá hodnot fázového posuvu -135°, -45°, 45° a 135°.

Níže je znázorněn modulovaný signál jak pro DBPSK tak pro DQPSK, jak je popsáno výše. Na obrázku se předpokládá, že signál začíná s nulovou fází, takže v čase ${\displaystyle t=0}$ dochází u obou signálů k fázovému posuvu.

Analýza ukazuje, že diferenciální kódování přibližně zdvojnásobuje chybovost ve srovnání s běžným M-PSK, což lze ale překonat malým zvýšením ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$. Tato analýza (a grafické výsledky níže) navíc uvažují pouze rušení aditivním bílým gaussovským šumem (AWGN). Ve skutečnosti bude mezi vysílačem a přijímačem v komunikačním systému fyzický kanál, který působí určitý fázový posuv PSK signálu. Proti zkreslení tohoto charakteru jsou diferenciální systémy odolnější než systémy, které jsou založeny na informaci o aktuální fázi.

Porovnání bitové chybovosti (BER) u DBPSK a DQPSK a jejich nediferenciálních forem používajících Grayovo kódování při provozu v bílém šumu.

Pro signál, který byl diferenciálně kódovaný, existuje zřejmá alternativní metoda demodulace. Místo obvyklé demodulace a ignorování nejednoznačnost fáze nosné, se zjišťuje změna fáze mezi dvěma přijatými po sobě jdoucími symboly, a tato změna slouží k určení přenášených symbolů. Tímto způsobem použité diferenciální kódování se nazývá diferenciální klíčování fázovým posuvem (DPSK). DPSK se mírně liší od diferenciálně kódovaného PSK, protože při příjmu se přijaté symboly nedekódují jeden po druhém na konstelační body, ale místo toho se přímo porovnávají jeden s druhým.

Označme symbol přijatý v k-tém časovém slotu ${\displaystyle r_{k}}$ a označme jeho fázi ${\displaystyle \phi _{k}}$. Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že fáze nosné vlny je nula. Složku aditivního bílého gaussovského šumu (AWGN) ${\displaystyle n_{k}}$. Potom

${\displaystyle r_{k}={\sqrt {E_{s}}}e^{j\phi _{k}}+n_{k}}$.

Rozhodovací proměnná pro ${\displaystyle k-1}$-tý symbol a ${\displaystyle k}$-tý symbol je fázový rozdíl mezi ${\displaystyle r_{k}}$ a ${\displaystyle r_{k-1}}$. To znamená, že pokud ${\displaystyle r_{k}}$ se promítá na ${\displaystyle r_{k-1}}$, rozhoduje se podle fáze výsledného komplexního čísla:

${\displaystyle r_{k}r_{k-1}^{*}=E_{s}e^{j\left(\theta _{k}-\theta _{k-1}\right)}+{\sqrt {E_{s}}}e^{j\theta _{k}}n_{k-1}^{*}+{\sqrt {E_{s}}}e^{-j\theta _{k-1}}n_{k}+n_{k}n_{k-1}}$

kde horní index * označuje číslo komplexně sdružené. Za nepřítomnosti šumu je fáze ${\displaystyle \theta _{k}-\theta _{k-1}}$, fázový posuv mezi dvěma přijatými signály, což může být použito k určení přenášených dat.

Pravděpodobnost chyby pro DPSK je obtížné určit obecně, ale pro DBPSK platí:

${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}e^{-E_{b}/N_{0}},}$

což je po numerickém vyčíslení jen o něco horší než běžné BPSK, zejména při vyšších hodnotách ${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$.

Použití DPSK odstraňuje potřebu složitých metod obnovení nosné, jejichž cílem je získat přesný odhad fáze, a může být atraktivní alternativou k běžné PSK.

Při optické komunikaci mohou být data diferenciálně modulována na fázi laseru různými způsoby. Modulátor je laser, který vysílá nepřerušovanou vlnu, a Mach-Zehnderův modulátor, který přijímá elektrická binární data. Například v případě BPSK laser vysílá sérii beze změn pro binární '1', a obrácení polarity pro '0'. Demodulátor se skládá z interferometru zpožďovací linky, které vytváří zpoždění jednoho bitu, takže lze porovnávat dva po sobě jdoucí bity. Při dalším zpracování se používá fotodioda k transformaci optického signálu na elektrický proud, takže se informace mění zpět do původního stavu.

Porovnání bitové chybovosti DBPSK, DQPSK a jejich nediferenciálních protějšků je znázorněno v grafu vpravo nahoře. Zvýšení chybovosti při použití DBPSK je poměrně malé ve srovnání se snížením složitosti, proto se DBPSK často používá v komunikačních systémech, které by jinak používaly BPSK. U DQPSK je však zvýšení chybovosti ve srovnání s běžným QPSK větší a návrhář systému musí hledat kompromis mezi zvýšením chybovosti a zvýšením složitosti.

V ${\displaystyle k}$-tém časovém slotu volání je bit modulován ${\displaystyle b_{k}}$, diferenciálně kódovaný bit ${\displaystyle e_{k}}$ a výsledný modulovaný signál ${\displaystyle m_{k}(t)}$. Předpokládejme pozice symbolů v konstelačním diagramu ± 1 (což je BPSK). Diferenciální dekodér produkuje:

${\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus {}b_{k}}$

kde ${\displaystyle \oplus {}}$ označuje binární doplněk (doplněk modulo-2).

Porovnání bitové chybovosti BPSK a diferenciálně kódované BPSK s Grayovým kódováním v prostředí s bílým šumem.

${\displaystyle e_{k}}$ mění stav (z binární '0 'na binární '1' nebo z binární '1 'na binární '0'), pouze pokud ${\displaystyle b_{k}}$ je binární '1'. Jinak zůstane v předchozím stavu. Toto je popis diferenciálně kódovaného BPSK uvedený výše.

Přijatý signál je demodulován, čímž se získá ${\displaystyle e_{k}=}$±1 a diferenciální dekodér opačným postupem vyprodukuje:

${\displaystyle \,b_{k}=e_{k}\oplus {}e_{k-1}}$ protože binární odčítání je stejné jako binární sčítání.

Proto ${\displaystyle b_{k}=1}$ jestliže ${\displaystyle e_{k}}$ a ${\displaystyle e_{k-1}}$ se liší a ${\displaystyle b_{k}=0}$ pokud jsou stejné. Proto pokud oba ${\displaystyle e_{k}}$ a ${\displaystyle e_{k-1}}$ jsou obrácené, ${\displaystyle b_{k}}$ bude stále dekódován správně. Díky tomu nejednoznačnost fáze o 180° nevadí.

Diferenciální metody pro jiné PSK modulace mohou být navrženy podobně. Křivky pro DPSK jsou stejné jako pro diferenciálně kódovaný PSK uvedený výše, protože jediný rozdíl mezi oběma systémy je v přijímači.