Elipsa

Kanonický tvar rovnice elipsy v normální poloze (tzn. hlavní osa je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ a střed má souřadnice ${\displaystyle [x_{0},y_{0}]}$) je

${\displaystyle {\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{b^{2}}}=1}$

V kartézských souřadnicích lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit rovnicí

${\displaystyle \left({x \over a}\right)^{2}+\left({y \over b}\right)^{2}=1\,}$,

kde a je délka hlavní poloosy, b je délka vedlejší poloosy a ${\displaystyle [x,y]}$ jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina ${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ se nazývá excentricita elipsy (výstřednost) a vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu elipsy.

Vrcholová rovnice elipsy má tvar

${\displaystyle y^{2}=2px-{\frac {p}{a}}x^{2}}$,

kde ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$ je tzv. parametr elipsy. Tato rovnice vyjadřuje elipsu, jejíž hlavní vrchol leží v počátku souřadné soustavy a hlavní osa je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$.

Z rovnice kuželosečky lze získat rovnici elipsy v normální poloze, pokud jsou splněny následující podmínky

${\displaystyle \operatorname {sgn} a_{11}=\operatorname {sgn} a_{22}=\operatorname {sgn}(a_{22}a_{13}^{2}+a_{11}a_{23}^{2}-a_{11}a_{22}a_{33})}$

${\displaystyle a_{12}=0}$

${\displaystyle |a_{11}|<|a_{22}|}$

Elipsa zadaná rovnicí kuželosečky splňující uvedené podmínky má hlavní poloosu o délce

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {a_{22}a_{13}^{2}+a_{11}a_{23}^{2}-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{11}^{2}a_{22}}}}}$

Délka vedlejší poloosy je

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {a_{22}a_{13}^{2}+a_{11}a_{23}^{2}-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{22}^{2}a_{11}}}}}$

Střed elipsy má souřadnice

${\displaystyle \left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},-{\frac {a_{23}}{a_{22}}}\right]}$

Elipsu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

${\displaystyle x=a\,\cos t}$

${\displaystyle y=b\,\sin t}$

kde ${\displaystyle t\in \langle 0,2\pi \rangle }$ je tzv. excentrická anomálie.

V polárních souřadnicích lze v případě, že ohnisko ${\displaystyle F_{2}}$ leží v počátku souřadnicové soustavy a polární osou je polopřímka ${\displaystyle F_{2}S_{1}}$ (tj. na obrázku výše osa ${\displaystyle X}$, od které bude proti směru hodinových ručiček přibývat úhel ${\displaystyle \varphi }$) psát rovnici elipsy ve tvaru

${\displaystyle \rho ={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \varphi }}}$,

kde ${\displaystyle \varepsilon =e/a<1}$ je tzv. číselná excentricita a ${\displaystyle p}$ je parametr elipsy. Číselná excentricita vyjadřuje míru zploštění elipsy, míru odlišnosti od kružnice. Má smysl ji porovnávat i pro různě velké elipsy. Geometrický význam parametru je polovina délky tětivy vedené ohniskem kolmo na hlavní osu.

Pokud v počátku souřadnicové soustavy leží střed elipsy a polární osou je polopřímka ${\displaystyle SS_{1}}$, pak dostáváme rovnici

${\displaystyle \rho ^{2}={\frac {b^{2}}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$

pro ${\displaystyle \varepsilon <1}$.

Je zadán střed S, osy o₁ a o₂, velikosti poloos a (hlavní), b (vedlejší).

Sestrojíme soustředné kružnice v bodě S kružnice k₁ a k₂, které mají poloměry velikosti a a b. Vedeme libovolnou polopřímku p vycházející z bodu S. Pak bod M je průsečíkem přímek p₁ a p₂: zároveň platí, že p₁ || o₁, p₂ || o₂.
Bod m₁ je průsečík přímky p₁ s kružnicí k₁.
Bod m₂ je průsečík přímky p₂ s kružnicí k₂.
Bod M (a všechny body takto sestrojené) se nachází mezi kružnicemi k₁ a k₂ nebo přímo na kružnicích (v případě hlavních a vedlejších vrcholů).

Rozdílová: proužková konstrukce elipsy. Používáme rozdíl a - b.

Součtová: proužková konstrukce elipsy. Používáme součet a + b.

Elipsa je určena hlavní osou o₁, hlavními vrcholy A a B a bodem M, který bude ležet na elipse, ale není vrcholem elipsy.

Rozdílová konstrukce (viz obrázek): První krok pro získání velikosti poloosy b je podobný s trojúhelníkovou konstrukcí: sestrojíme k hlavní ose o₁ kolmici m₁ a rovnoběžku m₂ které procházejí známým bodem M. Kružnice k₁ se středem v S má poloměr velikosti a. Vznikl nám tak bod M₁ který je průsečíkem kolmice m₁ a kružnice k₁. Bod M₁ spojíme přímkou m se středem S a nyní je už zřejmý bod M₂, jenž je průsečíkem m s m₂. Vzdálenost M₂ od S je hledaná velikost poloosy b.
Bodem M povedeme rovnoběžku m´, m || m´.
Průsečík této přímky m´ s hlavní poloosou o₁ nazveme P₁. Vzniklá úsečka MP₁ má velikost b.
Průsečík této přímky m´ s vedlejší poloosou o₂ nazveme P₂. Vzniklá úsečka MP₂ má velikost a. Nyní si na okraji pomocného pruhu papíru označíme vzdálenosti MP₂ a MP₁ do jedné přímky M - P₁ - P₂ (z tohoto plyne název proužková konstrukce). Poté přikládáme proužek papíru tak, aby značka bodu P₂ byla na vedlejší poloose o₂ a zároveň značka bodu P₁ byla na hlavní poloose o₁. Značka bodu M nám tak bude opisovat hledanou elipsu. Tento typ konstrukce se nazývá rozdílová. Používá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku vpravo.

Příčková konstrukce elipsy. Hledání průsečíků, které leží na elipse.

Elipsa je v tomto případě dána dvojicí sdružených průměrů RQ a MN, které na sebe nejsou kolmé (viz Geometrické vlastnosti elipsy).

V bodech R a Q sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem MN. V bodech M a N sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem RQ. Vznikne nám rovnoběžník s vrcholy M₁N₁R₁Q₁, které jsou průsečíky rovnoběžek k průměrům MN a RQ.
Sdružené průměry se protínají v průsečíku S, který je středem elipsy.
Vytvoříme si čtveřici soustředných (dle středu S) souřadnicových systémů, jejichž počátky budou vrcholy vzniklého rovnoběžníku M₁N₁R₁Q₁ a poloosy budou strany rovnoběžníku. Na všech poloosách si stejně vyznačíme vhodné jednotky (př. 1, 2, 3, 4). Poloosy souřadných systémů se stýkají v koncových bodech sdružených průměrů MNRQ. Jednotky máme již vyznačené na rovnoběžkách sdružených průměrů, tak je ještě stejně vyznačíme přímo na sdružených průměrech MN a RQ, a to tak, že střed S je počátkem.
Nyní budeme hledat body náležící elipse. Začneme například body nad sdruženým průměrem MN v souřadnicovém systému určeným body NSQ. Proložíme přímku bodem N a souřadnicí (např. 2) na poloose rovnoběžné k NM, na které leží bod Q. Poté proložíme přímku bodem M a souřadnicí 2 na poloose určené body SQ (SQ náleží průměru RQ). Průsečík takto proložených přímek nám dává bod ležící na elipse.
(Pozn. zmiňované poloosy nejsou poloosami elipsy, ale souřadných systémů.)

Tato elipsa nemá určené osy ani vrcholy, abychom je zjistili, musíme použít Rytzovu konstrukci os elipsy.

Rytzova konstrukce os elipsy.

Elipsa je dána dvojicí omezených sdružených průměrů MN a RQ.

Sestrojíme přímku p kolmou k jednomu ze sdružených průměrů (např. RQ, tak aby procházela středem S (průsečík sdružených průměrů). Vzdálenost |RS| je shodná se vzdáleností |SP|, bod P leží na přímce p. Proložíme přímku body PM.
Najdeme střed O úsečky PM. Sestrojíme kružnici k o poloměru |OS|. Průsečíky kružnice k s přímkou určenou body P, O a M nazveme 1 a 2. Sestrojíme přímku procházející průsečíkem 1 a středem S a přímku procházející průsečíkem 2 a středem S. Tyto přímky jsou na sebe kolmé a leží na nich osy elipsy. Velikost hlavní a vedlejší poloosy získáme ze vzdáleností |2M| a |M1|.