Geometrická posloupnost

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot q}$

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot q,\quad a_{3}=a_{1}\cdot q^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$

První člen a₁ má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$.

Například je-li ${\displaystyle a_{1}=2,q=3}$, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro ${\displaystyle a_{1}=1,q=-1}$ se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (${\displaystyle a_{1}=2,q=3}$) je:

${\displaystyle s_{5}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242}$

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako ${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}}$.

Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne ${\displaystyle s_{n}q=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\ldots +a_{1}q^{n}}$.

Odečtením první rovnice od druhé vyjde ${\displaystyle s_{n}q-s_{n}=a_{1}q^{n}-a_{1}}$.

Takže (je-li q různé od 1) platí

${\displaystyle s_{n}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

${\displaystyle s_{n}=na_{1}.}$

Součet prvních ${\displaystyle n}$ členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$,

kde členy ${\displaystyle a_{2}\ldots a_{n}}$ lze vyjádřit pomocí ${\displaystyle a_{1}}$:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{1}q+\ldots +a_{1}q^{n-1}}$,

přičemž ze součtu lze vytknout ${\displaystyle a_{1}}$:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)}$.

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních ${\displaystyle n+1}$ členů (ve skutečnosti nás ${\displaystyle s_{n+1}}$ příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

${\displaystyle s_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n+1}=a_{1}\left(1+q+\ldots +q^{n}\right)}$

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro ${\displaystyle s_{n}}$. V podstatě lze ${\displaystyle s_{n+1}}$ vypočítat z ${\displaystyle s_{n}}$ dvěma způsoby:

• Součet ${\displaystyle s_{n+1}}$ má o jeden (poslední) člen více než ${\displaystyle s_{n}}$:

${\displaystyle s_{n+1}=s_{n}+a_{1}q^{n}\,}$

• Závorka ${\displaystyle \left(1+q+\ldots +q^{n}\right)}$ v ${\displaystyle s_{n+1}}$ je vlastně závorka ${\displaystyle \left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)}$ z ${\displaystyle s_{n}}$ vynásobená ${\displaystyle q}$ a ještě k ní je zleva přičtena 1:

${\displaystyle \left(1+q+\ldots +q^{n}\right)=1+q\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)}$

Po vynásobení ${\displaystyle a_{1}}$ lze tuto skutečnost aplikovat na ${\displaystyle s_{n+1}}$ a ${\displaystyle s_{n}}$:

${\displaystyle a_{1}\cdot \left(1+q+\ldots +q^{n}\right)=a_{1}\cdot 1+a_{1}\cdot q\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)}$

${\displaystyle s_{n+1}=a_{1}+qs_{n}\,}$

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat ${\displaystyle s_{n+1}}$. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

${\displaystyle s_{n}+a_{1}q^{n}=a_{1}+qs_{n}\,}$

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet ${\displaystyle s_{n}}$ (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet ${\displaystyle s_{n+1}}$ přestává být zajímavý):

${\displaystyle s_{n}-qs_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\,}$

${\displaystyle s_{n}\left(1-q\right)=a_{1}\left(1-q^{n}\right)\,}$

${\displaystyle s_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$

Příklad

Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem: ${\displaystyle 0,{\overline {7}}}$

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

${\displaystyle 0,{\overline {7}}={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{100}}+{\frac {7}{1000}}+}$...

Pak ${\displaystyle q={\frac {1}{10}}}$ (|q| < 1) => konvergentní řada => můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:

${\displaystyle s={\frac {a_{1}}{1-q}}}$

kde ${\displaystyle a_{1}}$ = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

${\displaystyle s={\frac {\frac {7}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {7}{10-1}}={\frac {7}{9}}}$

${\displaystyle 0,{\overline {7}}={\frac {7}{9}}}$