Největší společný dělitel

${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\max\{n\in \mathbb {N} :n\mid a\wedge n\mid b\}}$

• Určení největšího společného dělitele je matematická operace
  • idempotentní,

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,a)=a}$

  • asociativní i

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (\operatorname {NSD} (a,b),c)=\operatorname {NSD} (a,(\operatorname {NSD} (b,c))}$

  • komutativní

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (b,a)}$

• Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel:

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)\operatorname {nsn} (a,b)=ab}$

• ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (a,b-a)}$ (pro ${\displaystyle b>a}$). Této vlastnosti využívá Eukleidův algoritmus:

  Označme ${\displaystyle D_{1}}$ množinu společných dělitelů čísel ${\displaystyle a,b}$ a ${\displaystyle D_{2}}$ množinu společných dělitelů čísel ${\displaystyle a,b-a}$. Uvědomíme si, že

  ${\displaystyle d\mid a\land d\mid (b-a)\Rightarrow d\mid a\land d\mid b\Rightarrow \operatorname {NSD} (a,b-a)\in D_{1}}$

  ${\displaystyle d\mid a\land d\mid b\Rightarrow d\mid a\land d\mid (b-a)\Rightarrow \operatorname {NSD} (a,b)\in D_{2}}$

  Pokud by ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)>\operatorname {NSD} (a,b-a)}$, dostali bychom spor, protože v množině ${\displaystyle D_{2}}$ by byl větší prvek než ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b-a)}$. Podobný spor bychom dostali, pokud by ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)<\operatorname {NSD} (a,b-a)}$. Proto ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (a,b-a)}$.

Největšího společného dělitele dvou čísel (a díky asociativitě i libovolně mnoha) lze určit prostřednictvím prvočíselného rozkladu obou čísel, jako součin prvočísel umocněných na nejmenší z exponentů u příslušného prvočísla v rozkladech:

Nechť ${\displaystyle \prod _{i}p_{i}^{e_{i}}}$ je prvočíselný rozklad čísla ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle \prod _{i}p_{i}^{f_{i}}}$ prvočíselný rozklad čísla ${\displaystyle b}$. Pak

${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\prod _{i}p_{i}^{\min {(e_{i},f_{i})}}}$.

Například největšího společného dělitele čísel 136 a 204 lze nalézt tak, že zjistíme, že 136 = 2³×17 a 204 =2²×3×17. V rozkladech se vyskytují prvočísla 2, 3 a 17 s exponenty 3, 0, 1 u menšího čísla a 2, 1, 1 u většího čísla. Výsledné NSD pak je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty, tedy 2²×17 = 68.

Tento výpočet je snadno pochopitelný, ale v praxi zcela nepoužitelný s výjimkou velice malých čísel, neboť získání rozkladu na prvočísla je extrémně náročná operace.

Pro praktické výpočty slouží výrazně rychlejší algoritmy, hlavně tzv. Eukleidův algoritmus.

• Nejmenší společný násobek
• Nesoudělná čísla