Carmichaelova funkce
Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi, je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že
pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.
Prvních 26 hodnot této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …[1]
Carmichaelova věta
Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:
Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme
- ,
což zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.
Pro celá čísla k≥3 definujeme
a pro různá prvočísla a kladná celá čísla definujeme
kde značí nejmenší společný násobek.
Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.
Reference
- Posloupnost A002322 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences