Čínská věta o zbytcích

Předpokládejme, že ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{r}}$ jsou navzájem po dvou nesoudělná přirozená čísla, ${\displaystyle m_{i}\geq 2}$ pro ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$. Potom každá soustava rovnic:

${\displaystyle x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\,\!}$

${\displaystyle x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \quad \quad \vdots \,\!}$

${\displaystyle x\equiv a_{r}{\pmod {m_{r}}}\,\!}$

má řešení x a toto řešení je určeno jednoznačně v modulo ${\displaystyle M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \ldots \cdot m_{r}}$.

Nechť ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{r}}$ jsou navzájem nesoudělná přirozená čísla, ${\displaystyle m_{i}\geq 2}$ pro ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$. Pak grupy ${\displaystyle Z_{m_{1}}\times \ldots \times Z_{m_{r}}}$ a ${\displaystyle Z_{m_{1}\cdot \ldots \cdot m_{r}}}$ jsou izomorfní. Izomorfismem je (kromě jiných) zobrazení ${\displaystyle f:Z_{m_{1}\cdot \ldots \cdot m_{r}}\rightarrow Z_{m_{1}}\times \ldots \times Z_{m_{r}}}$ dané předpisem ${\displaystyle f(x)=(x\;mod\;m_{1},\ldots ,x\;mod\;m_{r})}$.

Nechť platí tvrzení "aritmetická formulace". Zobrazení f z tvrzení "algebraická formulace" je homomorfismus zřejmě. Dále ${\displaystyle f(x)=(a_{1},\ldots ,a_{r})}$ právě tehdy, když x řeší soustavu příslušnou ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$. Proto f je prosté díky jednoznačnosti řešení a f je na díky existenci řešení.

Nechť naopak platí „algebraická formulace“, pak zobrazení ${\displaystyle f^{-1}}$ poskytuje řešení soustavy z „teoreticky číselné formulace“. Jednoznačnost tohoto řešení plyne z prostoty f.

Pokud vojáky seřadíme do 5 řad, zbudou 4. Pokud je seřadíme do 7 řad, zbude 1. Kolik je vojáků?

Čínská věta říká, že v rozmezí 1 až 35 je právě jedno číslo, které vyhovuje našemu zadání. Řekněme, že vojáků je a. Zapišme problém matematicky.

${\displaystyle 5\cdot k+4=a}$

${\displaystyle 7\cdot l+1=a}$

Pro nějaká přirozená čísla k, l. Jinými slovy

${\displaystyle a=4{\pmod {5}}}$

${\displaystyle a=1{\pmod {7}}}$

Proveďme substituci

${\displaystyle 5\cdot k+4=1{\pmod {7}}}$

Přičtěme trojku, abychom se zbavili čtyřky na levé straně

${\displaystyle 5\cdot k=4{\pmod {7}}}$

Chceme se zbavit pětky, proto rovnici vynásobme "inverzem 5", což je v tomto případě 3

${\displaystyle 3\cdot 5\cdot k=3\cdot 4{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 15\cdot k=12{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 1\cdot k=5{\pmod {7}}}$

Vyšlo nám, že k je 5, vojáků je tedy 5⋅5+4 = 29.

Máme spočíst zbytek čísla 12³¹⁶⁸⁰³ po dělení číslem 26741, neboli v Z₂₆₇₄₁. Nejprve musíme mít daný prvočíselný rozklad čísla 26741 = 11²·13·17. Protože čísla 11², 13 a 17 jsou navzájem nesoudělná, je podle čínské věty o zbytcích číslo 12³¹⁶⁸⁰³ v Z₂₆₇₄₁ určeno jednoznačně svými zbytky po dělení čísly 11², 13 a 17.

Následně využijeme faktu, že a^φ(m) = 1 v Z_m (Eulerova funkce) a spočteme tyto zbytky:

12³¹⁶⁸⁰³ = 12^110·2880+3 = 12³ = 34 v Z₁₂₁
12³¹⁶⁸⁰³ = 12^12·26400+3 = 12³ = 12 v Z₁₃
12³¹⁶⁸⁰³ = 12^16·19800+3 = 12³ = 11 v Z₁₇

(protože φ(11²) = 110 ,φ(13) = 12 ,φ(17) = 16)

Nyní použijeme čínskou větu o zbytcích, kde m₁ = 11², m₂ = 13 a m₃ = 17. Pak platí:
12³¹⁶⁸⁰³ = (34 ·M₁ · N₁) + (12 ·M₂ · N₂) + (11 ·M₃ · N₃) v Z₂₆₇₄₁,
kde

M₁ = 13 · 17 = 221
M₂ = 11² · 17 = 2057
M₃ = 11² · 13 = 1573

N₁ = M₁⁻¹ = 100⁻¹ = 23 v Z₁₂₁
N₂ = M₂⁻¹ = 3⁻¹ = 9 v Z₁₃
N₃ = M₃⁻¹ = 9⁻¹ = 2 v Z₁₇
Tudíž 12³¹⁶⁸⁰³ = (34 · 221 · 23) + (12 · 2057 · 9) + (11 · 1573 · 2) = 1728 v Z₂₆₇₄₁