Earnshawovo pravidlo

Vezmeme v úvahu tři zvláštní případy, přestože existuje i obecnější důkaz. Prvním případem je magnetický dipól konstantní velikosti, který má stálou (neměnnou) orientaci. Ve druhém a třetím případu se orientace magnetických dipólů mění tak, aby dipóly zůstávaly vyrovnané buď paralelně, nebo antiparalelně se siločárami vnějšího magnetického pole. V paramagnetických a diamagnetických látkách se dipóly orientují právě takto – po řadě paralelně resp. antiparalelně vůči siločárám pole.

Důkazy, jimiž se zde budeme zabývat, jsou založeny na následujících principech.

Energie ${\displaystyle U}$ magnetického dipólu s dipólovým momentem ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ve vnějším magnetickém poli s indukcí ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je dána výrazem

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {m}}\centerdot {\boldsymbol {B=-}}{\bigl (}{m}_{x}{B}_{x}+{m}_{y}{B}_{y}+{m}_{z}{B}_{z}{\bigr )}.}$

Dipól bude stabilně nadnášen pouze v těch bodech, kde má energie minimum. Energie může mít minimum jen v těch bodech, kde je Laplaceův operátor energie kladný. Tedy tam, kde

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}U={\partial ^{2}U \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial z^{2}}>0}$.

Protože jak divergence, tak rotace magnetického pole jsou v nepřítomnosti elektrického proudu nebo časově proměnného elektrického pole rovny nule, jsou nulové Laplaceovy operátory jednotlivých složek magnetické indukce. To znamená

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}{B}_{x}=\bigtriangledown ^{2}{B}_{y}=\bigtriangledown ^{2}{B}_{z}=0.}$

To je ústřední bod pro porozumění celkovému důkazu a je to dokázáno na samém konci tohoto článku.

Pro energii magnetického dipólu pevné orientace v prostoru a konstantní velikosti platí

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {m}}\centerdot {\boldsymbol {B}}=-{\bigl (}m_{x}B_{x}+m_{y}B_{y}+m_{z}B_{z}{\bigr )},}$

kde ${\displaystyle m_{x}}$, ${\displaystyle m_{y}}$ a ${\displaystyle m_{z}}$ jsou konstanty. V tomto případě je Laplaceův operátor energie všude roven nule

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}U=0,}$

tedy dipól nemůže mít ani minimum ani maximum energie. To znamená, že ve volném prostoru neexistuje žádný bod, kde by dipól byl buď stabilní ve všech směrech, nebo nestabilní ve všech směrech. Magnetické dipóly srovnané paralelně nebo antiparalelně vzhledem k vnějšímu poli s velikostí dipólového momentu úměrnou vnějšímu poli odpovídají po řadě paramagnetickým a diamagnetickým látkám. V těchto případech bude energie dána výrazem

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {m}}\centerdot {\boldsymbol {B}}=-k{\boldsymbol {B}}\centerdot {\boldsymbol {B}}=-k{\bigl (}B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}{\bigr )},}$

kde ${\displaystyle k}$ je konstanta větší než nula pro paramagnetické látky a menší než nula pro látky diamagnetické. V tomto případě ukážeme, že

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}{\bigl (}B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}{\bigr )}\geq 0,}$

což v kombinaci s konstantou ${\displaystyle k}$ znamená, že paramagnetické látky mohou mít maxima energie, ale žádná minima, a diamagnetické látky mohou mít minima energie, ale žádná maxima. Paramagnetické látky mohou tedy být ve všech směrech nestabilní, ale nemohou být ve všech směrech stabilní. Diamagnetika mohou být stabilní ve všech směrech, ale nemohou být ve všech směrech nestabilní. Pro oba typy materiálů se ovšem mohou vyskytovat sedlové body.

A na závěr, pro magnetický dipólový moment feromagnetické látky (permanentního magnetu), který je orientován paralelně nebo antiparalelně vzhledem k magnetickému poli, platí

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}=k{\frac {\boldsymbol {B}}{|{\boldsymbol {B|}}}},}$

takže pro energii pak dostáváme

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {B}}=-k{\frac {\boldsymbol {B\cdot {\boldsymbol {B}}}}{|{\boldsymbol {B|}}}}=-k{\frac {|{\boldsymbol {B|}}^{2}}{|{\boldsymbol {B|}}}}=-k{\bigl (}B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}{\bigr )}^{\frac {1}{2}}.}$

To je však právě druhá odmocnina energie pro případ paramagnetických a diamagnetických látek probíraných výše. Protože je druhá odmocnina monotónně rostoucí funkcí, každé minimum či maximum v případě paramagnetika či diamagnetika bude minimem nebo maximem i zde. Nejsou však známé žádné konfigurace permanentních magnetů, které by stabilně levitovaly. Mohou tedy existovat jiné důvody, jimiž se zde nezabýváme, proč není možné udržet permanentní magnety v antiparalelní orientaci vůči magnetickému poli (přinejmenším to nelze bez rotace – viz Levitron).

Earnshawovo pravidlo bylo odvozeno původně pro bodové náboje v elektrostatice s cílem ukázat, že stabilní uspořádání souboru bodových nábojů neexistuje. Důkazy, které zde uvádíme pro jednotlivé dipóly, lze zobecnit na soubory magnetických dipólů, protože jsou formulovány s ohledem na energii, která je aditivní veličinou. Rigorózní pojetí této věci však přesahuje rámec tohoto článku.

Pro všechny body ve volném prostoru dokážeme, že

${\displaystyle \bigtriangledown \cdot {\bigl (}\bigtriangledown U{\bigr )}=\bigtriangledown ^{2}U={\partial ^{2}U \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial z^{2}}=0.}$

Energie ${\displaystyle U}$ magnetického dipólu s dipólovým momentem ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ve vnějším magnetickém poli s indukcí ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je dána výrazem

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {m\cdot {\boldsymbol {B}}}}=-m_{x}B_{x}-m_{y}B_{y}-m_{z}B_{z}.}$

Laplaceův operátor bude

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}U=-{\partial ^{2}{\bigl (}m_{x}B_{x}+m_{y}B_{y}+m_{z}B_{z}{\bigr )} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2}{\bigl (}m_{x}B_{x}+m_{y}B_{y}+m_{z}B_{z}{\bigr )} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2}{\bigl (}m_{x}B_{x}+m_{y}B_{y}+m_{z}B_{z}{\bigr )} \over \partial z^{2}}.}$

Rozšířením a přerovnáním členů (připomeňme, že dipólový moment ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ je konstantní) dostaneme

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}U=-m_{x}{\Bigl (}{\partial ^{2}B_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial z^{2}}{\Bigr )}-m_{y}({\partial ^{2}B_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over \partial z^{2}}{\Bigr )}-m_{z}({\partial ^{2}B_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over \partial z^{2}}{\Bigr )}=-m_{x}\bigtriangledown ^{2}B_{x}-m_{y}\bigtriangledown ^{2}B_{y}-m_{z}\bigtriangledown ^{2}B_{z}.}$

Ale Laplaceův operátor jednotlivých komponent magnetického pole je ve volném prostoru nulový (nepočítaje elektromagnetické záření), takže

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}U=-m_{x}\cdot 0-m_{y}\cdot 0-m_{z}\cdot 0=0,}$

což důkaz uzavírá.

Nejprve se budeme zabývat dipóly paramagnetických nebo diamagnetických látek. Pro energii platí

${\displaystyle U=-k|{\boldsymbol {B|}}^{2}=-k{\bigl (}B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}).}$

Po rozšíření a přerovnání členů dostaneme

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}|{\boldsymbol {B|}}^{2}=\bigtriangledown ^{2}{\bigl (}B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}{\bigr )}=2{\bigl (}|\bigtriangledown B_{x}|^{2}+|\bigtriangledown B_{y}|^{2}+|\bigtriangledown B_{z}|^{2}+B_{x}\bigtriangledown ^{2}B_{x}+B_{y}\bigtriangledown ^{2}B_{y}+B_{z}\bigtriangledown ^{2}B_{z}{\bigr )}.}$

Jelikož je však Laplaceův operátor každé jednotlivé složky magnetického pole nulový, dostáváme

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}|{\boldsymbol {B}}|^{2}=2{\bigl (}|\bigtriangledown B_{x}|^{2}+|\bigtriangledown B_{y}|^{2}+|\bigtriangledown B_{z}|^{2}{\bigr )}.}$

A protože druhá mocnina jakékoli veličiny je vždy nezáporná, musí být

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}|{\boldsymbol {B}}|^{2}\geq 0.}$

Jak bylo řečeno výše, znamená to, že Laplaceův operátor energie paramagnetické látky nikdy nemůže být kladný (neexistuje stabilní nadnášení) a Laplaceův operátor energie diamagnetické látky nemůže být nikdy záporný (neexistuje nestabilita ve všech směrech). A dále, protože energie dipólu konstantní velikosti srovnaného do směru vnějšího pole je druhou odmocninou shora uvedené energie, vztahuje se na dipól konstantní velikosti tentýž rozbor.

Zde dokážeme, že Laplaceův operátor každé z jednotlivých složek magnetické indukce je roven nule. Je třeba odvolat se na následující vlastnosti magnetického pole, totiž že jeho divergence je vždy nulová a rotace magnetického pole je nulová ve volném prostoru (to znamená bez elektrického proudu nebo proměnného elektrického pole). Pro podrobnější diskusi o těchto vlastnostech magnetického pole je třeba se zabývat Maxwellovými rovnicemi.

Uvažme Laplaceův operátor x-ové složky indukce magnetického pole

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}B_{x}={\partial ^{2}B_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial z^{2}}={\partial \over \partial x}{\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial \over \partial y}{\partial B_{x} \over \partial y}+{\partial \over \partial z}{\partial B_{x} \over \partial z}.}$

Protože rotace B je rovna nule, platí

${\displaystyle {\partial B_{x} \over \partial y}={\partial B_{y} \over \partial x}}$ a ${\displaystyle {\partial B_{x} \over \partial z}={\partial B_{z} \over \partial x}}$ ,

takže dostáváme

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}{\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial \over \partial y}{\partial B_{y} \over \partial x}+{\partial \over \partial z}{\partial B_{z} \over \partial x}.}$

Jelikož je ${\displaystyle B_{x}}$ spojitou funkcí, nehraje pořadí derivací žádnou roli a tak dostáváme

${\displaystyle \bigtriangledown ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}{\Bigl (}{\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}{\Bigr )}={\partial \over \partial x}{\bigl (}{\boldsymbol {\bigtriangledown \cdot {\boldsymbol {B}}}}{\bigr )}.}$

Divergence ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je nula,

${\displaystyle {\boldsymbol {\bigtriangledown \cdot {\boldsymbol {B}}}}=0,}$

tedy

${\displaystyle {\boldsymbol {\bigtriangledown }}^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}{\bigl (}{\boldsymbol {\bigtriangledown \cdot {\boldsymbol {B}}}}{\bigr )}=0}$ .

Laplaceův operátor y-ové složky magnetické indukce ${\displaystyle B_{y}}$ a Laplaceův operátor z-ové složky magnetické indukcer ${\displaystyle B_{z}}$ můžeme spočítat analogicky.

Alternativně lze využít také identitu

${\displaystyle {\boldsymbol {\bigtriangledown }}^{2}{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\bigtriangledown {\bigl (}}}{\boldsymbol {\bigtriangledown \cdot {\boldsymbol {B}}}}{\bigr )}-{\boldsymbol {\bigtriangledown \times {\bigl (}{\boldsymbol {\bigtriangledown \times }}}}{\boldsymbol {B}}{\bigr )}}$ ,

kde oba členy v závorce vymizí.