Účinný průřez

Celkový účinný průřez reakce se definuje jako

${\displaystyle \sigma ={\frac {R}{N\Gamma }}}$,

kde ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [s^{-1}]}$ je četnost reakcí, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [-]}$ je počet částic terčíku a ${\displaystyle \Gamma [\mathrm {m} ^{-2}\mathrm {s} ^{-1}]}$ je tok ostřelujících částic. Účinný průřez má tedy jednotku ${\displaystyle m^{2}}$.

Pro model zahrnující pouze srážky pevných těles bez vlivu sil je účinný průřez shodný s reálným průřezem terčíkových částic. Reakce (odraz) nastane, narazí-li nalétavající částice do tohoto průřezu.

Větší význam má zavedení účinného průřezu, bude-li se počítat s elektromagnetickými, jadernými, či jinými interakcemi. Zde se již vytrácí analogie s klasickým průřezem a je třeba mít na zřeteli, že se jedná o pravděpodobnost reakce a tedy o statistickou veličinu.

Celkový účinný průřez lze také získat integrací diferenciálního účinného průřezu přes všechny rozptylové úhly ${\displaystyle \theta }$, tedy přes celý prostorový úhel, tzn.

${\displaystyle \sigma =\int _{\Omega }\mathrm {d} \sigma \,}$

Počet částic svazku, které dopadají na jednotkovou plochu kolmou k dopadajícímu svazku za jednotkový čas bývá označován jako proudová hustota ${\displaystyle j}$ svazku. Různé částice svazku se k terčíkové částici přiblíží na různou vzdálenost (náměrná vzdálenost) a budou tedy rozptýleny do různých směrů, takže jejich rozptylové úhly budou odlišné. Srážkový parametr je vzdálenost částice svazku od osy svazku, která prochází silovým centrem (terčíkovou částicí). Označí-li se počet částic rozptýlených za časovou jednotku (jedním silovým centrem) do úhlu mezi ${\displaystyle \theta }$ a ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$ jako ${\displaystyle \mathrm {d} N}$, pak vzhledem k tomu, že každá částice dopadajícího svazku je rozptylována nezávisle a tedy ${\displaystyle \mathrm {d} N}$ je úměrné proudové hustotě ${\displaystyle j}$, lze zavést diferenciální účinný průřez jako

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {\mathrm {d} N}{N}}}$,

kde ${\displaystyle N}$ označuje počet dopadajících částic a ${\displaystyle \mathrm {d} N}$ představuje počet částic, které byly rozptýleny do intervalu úhlů od ${\displaystyle \theta }$ do ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$.

Tato veličina je charakteristikou interakce částic a nikoliv jejich geometrického uspořádání. Termín diferenciální zohledňuje skutečnost, že se jedná o charakteristiku rozptylu do úhlu ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$. Diferenciální účinný průřez ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma }$ udává počet částic rozptýlených jedním silovým centrem (terčíkovou částicí) za jednotku času do úhlu mezi ${\displaystyle \theta }$ a ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$ při jednotkové proudové hustotě svazku, tedy při proudové hustotě, které odpovídá dopad jedné částice za 1 s na 1m².

Celkový počet částic ${\displaystyle \mathrm {d} \nu }$ rozptýlených za čas ${\displaystyle \Delta t}$ do úhlu mezi ${\displaystyle \theta }$ a ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$ získáme vynásobením diferenciálního účinného průřezu počtem rozptylových center, časovým intervalem ${\displaystyle \Delta t}$ a proudovou hustotou ${\displaystyle j}$ dopadajícího svazku.

Rozptylový úhel ${\displaystyle \theta }$ bývá monotónně klesající funkcí srážkového parametru ${\displaystyle b}$. Vztah mezi ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle \theta }$ je v takovém případě jednoznačný. Do úhlů mezi ${\displaystyle \theta }$ a ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$ budou v takovém případě rozptýleny pouze částice svazku, které mají srážkové parametry mezi ${\displaystyle b(\theta )}$ a ${\displaystyle b(\theta )+\mathrm {d} b(\theta )}$. Jedná se o částice svazku, které ve svazku prochází uvnitř mezikruží s poloměry ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle b+\mathrm {d} b}$. Při proudové hustotě ${\displaystyle j}$ je jejich počet ${\displaystyle \mathrm {d} N=2\pi bj\mathrm {d} b}$. Pro diferenciální účinný průřez pak vychází

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =2\pi b\mathrm {d} b}$

Diferenciací ${\displaystyle b(\theta )}$ dostaneme ${\displaystyle \mathrm {d} b={\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}\mathrm {d} \theta }$ a dosazením do předchozího vztahu vznikne

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =2\pi b\left|{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}\right|\mathrm {d} \theta }$

Absolutní hodnota byla zavedena proto, že derivace ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$ je obvykle záporná, zatímco ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma }$ je definována jako nezáporná veličina.

Diferenciální účinný průřez bývá zvykem vyjadřovat prostřednictvím elementu prostorového úhlu ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =2\pi \sin \theta \mathrm {d} \theta }$. předchozí vztah pak získá tvar

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {b(\theta )}{\sin \theta }}\left|{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}\right|\mathrm {d} \Omega }$

• Rozptyl
• Ráz těles
• Rutherfordův experiment
• Barn